8-2-空间几何体的表面积、体积方法技巧专题(共63张PPT)

课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研第2课时空间几何体的表面积、体积课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研2014•考纲下载1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．能正确描述现实生活中简单物体的结构．2．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．(不要求记忆台体的体积公式)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研请注意！柱、锥、台、球等简单几何体的面积与体积(尤其是体积)是高考热点.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研1．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是、、．(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱＝、S锥＝.(4)若圆台的上下底面半径为r1、r2，母线长为l，则圆台的表面积为S＝.(5)球的表面积为.矩形扇形扇环2πr2＋2πrlπr2＋πrlπ(r21＋r22)＋π(r1＋r2)l4πR2课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研2．几何体的体积(1)V柱体＝.(2)V锥体＝.(3)V台体＝，V圆台＝，V球＝(球半径是R)．Sh13Sh13(S′＋SS′＋S)h13π(r21＋r1r2＋r22)·h43πR3课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为________．答案3π课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研解析已知正三角形的面积求其边长，然后利用圆锥的母线，底面半径与轴截面三角形之间的关系，根据圆锥的全面积公式可求．如图所示，设圆锥轴截面三角形的边长为a，则34a2＝3，∴a2＝4，∴a＝2.∴圆锥的全面积为S＝π(a2)2＋π·a2·a＝3π.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研2．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为________．答案23解析本题考查几何体体积的求法，易知正三棱锥的侧棱长为2，则其体积为16(2)3＝23.(若一个三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且侧棱长分别为a、b、c，则其体积为16abc)．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研3.(2012·浙江)已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于________．答案1课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研解析由图可知三棱锥底面积S＝12×1×3＝32(cm2)，三棱锥的高h＝2cm，根据三棱锥体积公式，V＝13Sh＝13×32×2＝1(cm3)．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研4．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为()课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研A．143B．6＋3C．12＋23D．16＋23答案C解析由题意知，该几何体为正三棱柱，易知正三棱柱的高h＝2.设正三棱柱的底面边长为a，则有32a＝3，即a＝2.∴S表＝3×2×2＋2×12×2×3＝12＋23.故选C.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研5.(2014·高考调研原创题)一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．答案16π课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研解析由三视图，可知该几何体是一个球体挖去14之后剩余的部分，故该几何体的表面积为球体表面积的34与两个半圆面的面积之和，即S＝34×(4π×22)＋2×(12π×22)＝16π.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例1(2012·安徽改编)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________，体积是________．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】由三视图可知，该几何体为底面是直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，该几何体的表面积为S＝2×12×(2＋5)×4＋[2＋5＋4＋42＋5－22]×4＝92，体积为V＝2＋5×42×4＝56.【答案】9256课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研探究1求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题1(1)(2013·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为1，根据体积公式V＝13×3×3×1＝3，故该棱锥的体积为3.【答案】3课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)(2012·课标全国)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】∵SC是球O的直径，∴∠CAS＝∠CBS＝90°.∵BA＝BC＝AB＝1，SO＝2，∴AS＝BS＝3.取AB的中点D，显然AB⊥CD，AB⊥CS.∴AB⊥平面CAB.在△CDS中，CD＝32，DS＝112，SC＝2，利用余弦定理可得cos∠CDS＝CD2＋SD2－SC22CD·SD＝－133.故sin∠CDS＝4233.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研∴S△CDS＝12×32×112×4233＝22.∴V＝VB－CDS＋VA－CDS＝13×S△CDS×BD＋13S△CDS×AD＝13S△CDS×BA＝13×22×1＝26.【答案】A课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例2如图所示，在直径AB＝4的半圆O内作一个内接直角三角形ABC，使∠BAC＝30°，将图中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180°形成一个几何体，求该几何体的表面积及体积．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】AB＝4，R＝2，S球＝4πR2＝16π.设DC＝x，则AC＝2x，BC＝xsin60°＝23x3.在Rt△ABC中，4x2＋4×3x29＝16，x＝3，S锥侧上＝πrl＝π·3·23＝6π，S锥侧下＝πrl＝π·3·2＝23π，S表＝12(S球＋S锥侧上＋S锥侧下)＝(11＋3)π.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研∴V＝12(V球－V锥上－V锥下)＝1243πR3－13πCD2AD＋BD＝103π.【答案】S表＝(11＋3)πV＝103π探究2此类题只需根据图形的特征求出所需元素(半径、高等)，然后代入公式计算即可．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题2(1)(2012·广东)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．12πB．45πC．57πD．81π课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】由三视图知该几何体是由圆锥和圆柱构成的组合体，示意图如图所示，∴该几何体的体积为V＝V圆锥＋V圆柱＝13πr2h1＋πr2h2＝13π×32×4＋π×32×5＝12π＋45π＝57π.【答案】C课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)(2013·辽宁)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】由三视图可知该几何体是一个底面半径为2的圆柱体，中间挖去一个底面棱长为2的正四棱柱，故体积为π·22·4－2×2×4＝16π－16.【答案】16π－16课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例3(1)已知正方体AC1的棱长为a，E，F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．【解析】因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝a2＋a22＝52a，所以四棱锥A1－EBFD1的底面是菱形，连接EF，则△EFB≌△EFD1，由于三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1等底同高，所以VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1＝2·13·S△EBA1·a＝16a3.【答案】16a3课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)如图所示，多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1而截得的，已知AA1＝CC1，截面A1BC1D1与底面ABCD成45°的二面角，AB＝1，则这个多面体的体积为()A.22B.33C.24D.2课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】以正方形ABCD为底面，DD1为棱将上图补成一个正四棱柱ABCD－A2B1C2D1，如图所示．∵截面A1BC1D1与底面ABCD成45°的二面角，∴原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一半．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研∵AA1＝CC1，易知∠D1BD为截面与底面ABCD所成的二面角的平面角．∴∠D1BD＝45°.∵AB＝1，∴BD＝2，DD1＝2.∴正四棱柱ABCD－A2B1C2D1的体积V＝1×2＝2.∴所求多面体的体积为22.【答案】A课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研探究3(1)分割法：通过对不规则几何体进行分割，化为规则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体体积．(2)补体法：通过补体构造出一个规则几何体，然后进行计算．(3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任意一个顶点都可以作为顶点，任何一个面都可以作为棱锥的底面，常常需要对其顶点和底面进行转换，以方便求解．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题3正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为()A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．3∶2课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】设棱锥的高为h，VD­GAC＝VG­DAC＝13S△ADC·12h，VP­GAC＝12VP­ABC＝VG­ABC＝13S△ABC·h2.又S△ADC∶S△ABC＝2∶1，故VD­GAC∶VP­GAC＝2∶1.【答案】C课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研1．对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大．2．要注意将空间问题转化为平面问题．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研3．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研方法技巧专题——几何体与球的切接问题一、几何体的外接球例1(1)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．【解析】本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球的轴截面可得，球的直径是正方体