中心极限定理教学设计

ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计1概率论与数理统计教学设计课程名称经济应用数学C课时50+50=100分钟任课教师李飞专业与班级人力资源管理B1601-02市场营销B1601课型新授课课题中心极限定理学习目标知识与技能掌握棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理和列维—林德伯格中心极限定理(独立同分布中心极限定理)的结论和应用条件，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率;过程与方法1.中心极限定理产生的历史背景。2.中心极限定理的提法.3.林德伯格-----勒维中心极限定理4.隶莫弗——拉普拉斯定理5.林德贝格中心极限定理6.李雅普诺夫中心极限定理7.中心极限定理在管理中的应用情感态度与价值观1.培养学生能够自觉地用极限定理的视角观察生活，将统计方法用于分析和探讨生活中的实际问题，提高认知能力和水平.2.中心极限定理名称的得来是由于随机变量和的分布收敛于正态分布的极限定理的研究在长达两个世纪的时间内成了概率论研究的中心课题，因此也得到了中心极限定理的名称．3.让学生懂得，量变与质变的辩证关系。.教学分析教学内容1.中心极限定理产生的历史背景。2.中心极限定理的提法.3.林德伯格-----勒维中心极限定理4.隶莫弗——拉普拉斯定理5.林德贝格中心极限定理6.李雅普诺夫中心极限定理7.中心极限定理在管理中的应用ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计2教学重点1.隶莫弗——拉普拉斯定理；2.李雅普诺夫中心极限定理;教学难点1.隶莫弗——拉普拉斯定理；2.李雅普诺夫中心极限定理;教学方法与策略课堂教学设计思路本课从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起，通过对概率论的经典定理—中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性．经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示的理论依据．同样中心极限定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度来进行讨论;最后给出了一些中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计算、以及保险业等方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值．板书设计ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计3教学进程教学意图教学内容教学环节1.极大似然估计的原理与思想（10分钟）中心极限定理的提法概率统计学是一门研究随机现象统计规律性[1]的数学学科，它的应用十分广泛，涉及自然科学、社会经济学科、工程技术及军事科学、农医学科、企业管理部门等．而大数定律和中心极限定理是概率论中最重要的内容之一，甚至可以说概率论的真正历史开始于极限定理的研究，在这以前概率论还仅局限于古典概率的直接计算，而且主要是赌博中的概率计算[2]．极限定理最早的成果有:伯努利大数定律，棣莫佛一拉普拉斯定理和泊松定理，这些定理开辟了概率论中的重要研究方向—大数定律、中心极限定理及以正态分布和泊松分布为代表的无穷可分分布的研究．概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景．在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的．中心极限定理就是从数学上证明了这一现象．最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，某事件A出现的次数渐近于正态分布的问题．1716年前后，棣莫佛对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为1/2的情况进行了讨论，随后，拉普拉斯和李亚普诺夫等进行了推广和改进．自莱维在1919-1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等．无论是在概率论的发展史上还是在现代概率论中，极限定理的研究都占特别重要的地位，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美．长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展．同时新的极限理论问题也在实际中不断产生．这样中心极限定理在概率论中占时间：10分钟中心极限定理的名称最早是由仆里耶(1920年)提出来的，中心极限定理的一般形式最早是由切比雪夫(1821年—1894年)提出来的下面我们介绍四个主要定理:1)林德伯格一勒维定理2)棣莫弗一拉普拉斯定理2)林德伯格定理3)李雅普诺夫定理．其中林德伯格定理是最一般的，ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计4累计10分钟有重要的地位，同时极限定理的研究引起了现代概律论的发展，并且在统计分析和近似计算等方面具有一定的应用，所以中心极限定理的研究具有一定的理论和实际意义．直观上，如果一随机变量决定于大量(乃至无穷多个)随机．因素的总合，其中每个随机因素的单独作用微不足道，而且各因素的作用相对均匀，那么它就服从(或近似地服从)正态分布，下面我们将按严格的数学形式来表述这一直观．在许多情形下，一随机变量X可以表示为或近似地表示为大量独立随机变量之和，12nX(a)这里，每个i直观上表示一种随机因素的效应，假如式(a)包含了决定X的充分多的随机因素的效应(即n充分大)，则1nii的分布就近似于X的分布．中心极限定理就是要说明，在什么条件下大量独立随机变量之和近似地服从正态分布，即，在什么条件下，当n时，独立随机变量之和的极限分布是正态分布的．其它情形可以看作它的推论．ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计5引入中心极限定理的基本思想累计20分钟中心极限定理有多种不同的形式，它们的结论相同，区别仅在于加在各被加项12,,上的条件不同．独立同分布随机变量列的中心极限定理，是中心极限定理最简单又最常用(特别在数理统计中)的一种形式，通常称做林德伯格----勒维定理．历史上最早的中心极限定理一棣莫弗一拉普拉斯(积分)定理是它的特殊情形．设(1,2,)kk的方差D，大于0，令2221,,nkkknkkaEbDBb（1）我们说，随机变数列k服从中心极限定理，如果关于1xR均匀的有22111lim().2tnxkknknPaxedtB（2）(2)表示：随机变量数11()nkkknaB的分布函数关于x均匀的趋于正态分布(0,1)N的分布函数．时间:5分钟用足球比赛事件引入达到以下目的：①吸引学生注意力，使学生尽快进入上课状态；②帮助学生深入浅出的理解极大似然估计的基本思想.教学意图教学内容教学环节独立同分布的两个定理：林德伯格-----勒维中心极限定理设12,,,,nxxx相互独立，服从同一分布，具有数学期望和方差：2(),()0.iiExVarx记时间20分钟提问：如何度量样本值出现的可能性？ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计6林德伯格-----勒维中心12...nnXXXnYn则对任意实数y，有221lim()().2tynnpYyyedt（3）证明为证（1）式，只须证*nY的分布函数列若收敛于标准正态分布．又由定理4．3．4[3]，只须证*nY的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数．为此设nX的特征函数为()t，则*nY的特征函数为*()()nnYttn又因为2()0,()nnEXVarX，所以有(0)0，2(0)于是特征函数()t有展开式22()(0)(0)(0)()2tttt22211()2tt从而有2*2222lim()lim1()2nntYnntttenn，而22te正是(0,1)N分布的特征函数，定理得证．例1某汽车销售点每天出售的汽车辆数服从参数为2的泊松分布．若一年365天都经营汽车销售,且每ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计7累计40分钟天出售的汽车数是相互独立的,求一年中售出700辆以上汽车的概率．解:设x某汽车销售点每天出售的汽车辆数,则12365Yxxx,为一年的总销量．由()()2iiExVarx,知()()3652730EYVarY．利用林德贝格---勒维中心极限定理可得,700730(700)1(700)1()1(111)0.8665730PYPY这表明一年中售出700辆以上汽车的概率为0．8665隶莫弗——拉普拉斯定理（10分钟）教学意图教学内容教学环节隶莫弗——在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p（0p1），n为n次试验中事件A出现的次数，且记nnnpYnpq且对任意实数y，有时间10分钟主要依据上边的例题，归纳总结离散型总体下似然函数的构建.ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计8拉普拉斯定理累计50分钟221lim()().2tynnpYyyedt此定理由定理1马上就得出，也就是说定理2是定理1的推论．例2某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20％,以x表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数．(1)写出x的分布列;(2)求被盗户不少于14户且不多于30户的概率近似值．解:(1)x服从100,0.2np的二项分布(100,2)b,即100()0.20.8,1,2,,kknpxkknk(2)利用隶莫弗---拉普拉斯中心极限定理,有30.51000.213.51000.2(1430)(13.530.5)()()1000.20.81000.20.8pxpx(2.625)(1.625)(2.625)1(1.625)0.9956510.9480.9437这表明被盗户不少于14户且不多于30户的概率近似值为0．9437．课间休息10分钟3.极大似然估计法应用（15分钟）教学意图教学内容教学环节对于独立同分布随机变量序列12,,只要它们的方差有穷，中心极限定理就成立．而在实际问题中说诸i具有独立性是常见的，但是很难说诸i是“同分布”时间5分钟ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计9林德贝格中心极限定理的随机变量，正如前面提到的测量误差nY的产生是由大量“微小的”相互独立的随机因素叠加而成的，即1nniiY则i间具有独立性，但不一定同分布，所以我们有必要讨论独立不同分布随机变量和的极限分布问题，目的是给出极限分布为正态分布的条件．林德伯格(Lideberg)于1922年找到了独立随机变量服从中心极限定理的最一般的条件，通常称做林德伯格条件．2．3．1林德贝格中心极限定理设独立随机变量序列nX满足林德贝格条件，则对任意的x，有22111lim().2tnxiininPXxedtB为证此，先证下列三个不等式：对任意实数a，有1iaea；(4)212!iaaeia(5)22123!iaaaeia(6)实际上，对0a上三式明显．设0a，则01aiaixeedxa；2001(1)2!aaiaixaeiaedxxdx；通过指数分布(连续型)参数的极大似然估计，进一步巩固极大似然估计的方法与步骤，同时体现极大似然估计法在工作生活中有着很广泛、很重要的应用.ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计10累计15分钟201(1)2aiaixaeiaeixdx220012!3!aaixxaeixdxdx利用cossiniaeaia，可见（4）（5）（6）方都是a的偶函数，故他们对0a也成立．李雅普诺夫中心极限定理李雅普诺夫中心极限定理如对独