第13课次协方差和相关系数

微软用户[日期]概率论与数理统计教学设计1第13课次协方差和相关系数课程名称概率论与数理统计课时50+50=100分钟任课教师孙芳菲专业与班级国贸B1601、02、03班；贸经B1601班；投资B1601班课型新授课课题4.3协方差和相关系数教学分析教材分析协方差和相关系数是第四章随机变量继数学期望和方差之后的的第三个和第四个数字特征，位于教材的第130页至135页。不同于数学期望和方差刻画一个变量的均值和离散程度，协方差和相关系数是刻画两个变量之间统计关系的特征量，在其定义概念和性质推导时均用到数学期望和方差的相关知识体系。另外，协方差是带有量纲的刻画量，在实际应用时可能会受到本身量纲的影响，因此，在协方差之后，又紧跟着不带量纲的刻画量——相关系数，将这两个数字特征放在一起，不仅考虑他们之间的内在联系，也反映了他们之间的区别。学习目标知识与技能使学生掌握协方差和相关系数的有关概念和性质；理解相关系数的含义；掌握协方差和相关系数的计算。过程与方法对于协方差定义的给出类比方差的定义，对于相关系数的定义讲明来龙去脉，使学生更易接受与掌握此两种概念。在性质上引导学生用所学期望和方差的知识去推导和应用，借助具体实例加深学生对协方差、相关系数的概念和性质的掌握。情感态度与价值观培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质。微软用户[日期]概率论与数理统计教学设计2教学方法与策略教学内容1.协方差的定义；2.协方差的性质；3.相关系数的定义；4.相关系数的性质；5.期望、方差、协方差、相关系数的综合应用。教学重点1.协方差和相关系数的有关概念和性质；2.协方差和相关系数的计算。教学难点相关系数含义的理解；变量不相关和独立的关系。板书设计教学时间设计第1节课：协方差1.1协方差的定义（20分钟）1.2协方差的性质（30分钟）课间休息10分钟第2节课：相关系数2.1相关系数的定义（12分钟）2.2相关系数的性质（10分钟）2.3期望、方差、协方差、相关系数的综合应用（23分钟）2.4小节及作业布置（5分钟）微软用户[日期]概率论与数理统计教学设计3教学进程教学意图教学内容教学环节第1节课：协方差1.1协方差的定义（20分钟）协方差的定义累计20分钟问题提出对多维随机变量,随机变量的数学期望和方差只反映了各自的平均值与偏离程度，并没能反映随机变量之间的关系.能不能定义一个数字特征用于刻画随机变量之间的关系？定义设),(YX为二维随机向量,若)]}()][({[YEYXEXE存在,则称其为随机变量X和Y的协方差,记),(YXCov即)]}.()][({[),cov(YEYXEXEYX注：此定义的给出可参照方差的定义形式。（1）意义：两变量与其各自期望值的偏差乘积的期望；（2）协方差可正可负可为零。按定义,若),(YX为离散型随机向量,其概率分布为),2,1,(},{jipyYxXPijji则jijiYEyXExEYX,)]}.()][({[),cov(若),(YX为连续型随机向量,其概率分布为),,(yxf则dxdyyxfYEyXExEYX),()]}()][({[),cov(.此外,利用数学期望的性质,易将协方差的计算化简.即协方差的计算公式为).()()()()()()()()()()]}()][({[),cov(YEXEXYEYEXEXEYEYEXEXYEYEYXEXEYX特别地,当X与Y独立时,有.0),cov(YX例1已知离散型随机向量),(YX的概率分布为时间：20分钟由一个变量的偏离程度刻画推演出两个变量相互间的偏离程度刻画，构造协方差的定义。微软用户[日期]概率论与数理统计教学设计4YX10200.10.2010.30.050.120.1500.1求),cov(YX.解容易求得X的概率分布为,3.0}0{XP,45.0}1{XP;25.0}2{XPY的概率分布为,55.0}1{YP,25.0}0{YP,2.0}2{YP于是有25.0245.013.00)(XE,95.02.0225.0055.0)1()(YE.15.0计算得0202.0001.0)1(0)(XYE1.0215.0013.0)1(11.02200215.0)1(2.0于是)()()(),cov(YEXEXYEYX.1425.015.095.01.2协方差的性质（30分钟）引出协方差的性质1.协方差的基本性质);(),cov()1(XDXX);,cov(),cov()2(XYYX),cov(),cov()3(YXabbYaX,其中ba,是常数;CXC,0),cov()4(为任意常数;).,cov(),cov(),cov()5(2121YXYXYXX(6)若X与Y相互独立时,则.0),cov(YX（性质的证明可留作思考）2.随机变量和的方差与协方差的关系),,cov(2)()()(YXYDXDYXD特别地,若X与Y相互独立时,则)()()(YDXDYXD例2设连续型随机变量),(YX的密度函数为,,010,8),(其它yxxyyxf时间30分钟对于协方差性质的证明某些细讲，某些粗讲，某些作为思考，主要目的还是训练学生对前面期望和方差知识的掌握和应用。微软用户[日期]概率论与数理统计教学设计5累计50分钟求cov(,),()XYDXY.解由),(YX的密度函数可求得其边缘密度函数分别为:,,010),1(4)(2其它xxxxfX,,010,4)(3其它yyyfY于是dxxxfXEX)()(102)1(4dxxxx,15/8dyyyfYEY)()(1034dyyy,5/4dxdyyxxyfXYE),()(1108xdyxyxydx,9/4从而)()()(),cov(YEXEXYEYX,225/4又dxxfxXEX)()(221022)1(4dxxxx,3/1dyyfyYEY)()(2210324dyyy,3/2所以22()()[()]11/225,DXEXEX,75/2)]([)()(22YEYEYD故),cov(2)()()(YXYDXDYXD.9/1课间休息10分钟第2节课：相关系数2.1相关系数的定义（12分钟）回顾第1节课所学内容时间2分钟引出相关系数的定义协方差是有量纲的量，如何消除量纲影响，构造一个数值能更加简洁刻画X和Y之间的统计关系呢？为此，先把变量标准化后，再求协方差，即**,XEXYEYXYDXDY时间10分钟此推导过程使学生了解即可。注重让学生了解相关系微软用户[日期]概率论与数理统计教学设计6累计12分钟********(,){[()][()]}()[]{[][]}()(,)()CovXYEXEXYEYEXYXEXYEYEDXDYEXEXYEYDXDYCovXYDXDY定义设),(YX为二维随机变量,,0)(,0)(YDXD称)()(),(YDXDYXCovXY为随机变量X和Y的相关系数.有时也记XY为.特别地，当0XY时，称X与Y不相关.思考：不相关和独立有何关系？数的来龙去脉，进而能够区分协方差和相关系数。2.2相关系数的性质（10分钟）相关系数的性质1.;1||XY2.若X和Y相互独立,则0XY.3.若0,0DYDX,则1||XY当且仅当存在常数).0(,aba使1}{baXYP,而且当0a时,1XY;当0a时,1XY.注:相关系数XY刻画了随机变量Y与X之间的“线性相关”程度.||XY的值越接近1,Y与X的线性相关程度越高;||XY的值越近于0,Y与Y的线性相关程度越弱.当1||XY时,Y与X的变化可完全由X的线性函数给出.时间10分钟掌握相关系数的性质。尤其是着重强调相关系数来衡量线性关系的强弱。微软用户[日期]概率论与数理统计教学设计7累计22分钟当0XY时,Y与X之间不是线性关系.例3设),(YX的分布律为XY2112}{jyYP1401/41/401/4001/41/21/2}{ixXP1/41/41/41/41易知,0)(XE,2/5)(YE,0)(XYE于是YXXY,,0不相关.这表示YX,不存在线性关系.但},1{}2{0}1,2{YPXPYXP知YX,不是相互独立的.事实上,X和Y具有关系:,2XYY的值完全可由X的值所确定.不相关与独立：独立一定不相关；反之，不相关不一定独立。从此例题让学生了解不相关和独立的关系。2.3期望、方差、协方差、相关系数的综合应用（23分钟）典型例题例4设服从],[上的均匀分布,,sinXcosY判断X与Y是否不相关,是否独立.解由于,0sin21)(dXE,0cos21)(dYE而.0cossin21)(2dXYE因此),()()(YEXEXYE从而X与Y不相关.但由于X与Y满足关系:122YX所以X与Y不独立.例5已知)3,1(~2NX,),4,0(~2NY且X与Y的相关系数.21XY设,23YXZ求)(ZD及.XZ解因,3)(2XD,4)(2YD且XYYDXDYX)()(),cov(2143,6所以23)(YXDZD2,3cov2)(41)(91YXYDXD时间23分钟通过典型例题使学生掌握数学期望、方差、协方差、相关系数的综合应用。微软用户[日期]概率论与数理统计教学设计8累计45分钟),cov(21312)(41)(91YXYDXD,7又因23,cov),cov(YXXZX2,cov3,covYXXX),cov(21),cov(31YXYX,6),cov(21)(31YXXD故.772736)()(),cov(ZDXDZXXZ2.4小结及作业（5分钟）本次课小结累计49分钟1.协方差的定义；2.协方差的性质；3.相关系数的定义；4.相关系数的性质。时间3分钟回顾总结累计50分钟思考：1.变量不相关和变量独立是否不同，有何联系？2.不相关的等价命题都有那些？作业布置：1.复读课本第130至第135页；2.完成书面作业：第144页第21题；第142页第1-4、5题；3.预习课本第135页至138页.要求学生认真完成作业.教学评价本次课知识点相对琐粹，但内在联系不容忽视，因此，本节课的重点不在于知识点的平复传递，而在于使学生了解其内在联系从而能够以一点串一面，构建整个知识体系。在教学时，尤其是协方差与相关系数的概念讲解时，应对前面期望和方差有所联系，不能直接给出，使学生知其所然，进而能够更好应用。