刘涛--全概率公式与贝叶斯公式--教学设计

ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计1概率论与数理统计教学设计课程名称概率论与数理统计课时50分钟任课教师专业与班级课型新授课课题1.5全概率公式与贝叶斯公式教材分析“全概率公式与贝叶斯公式”属于教材第一章第五节，位于教材的第24页至第27页.是在前一节“条件概率”概念提出的基础上，从已知简单事件的概率推算出未知复杂事件的概率的研究课题之一。为了计算复杂事件的概率，经常把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，通过分别计算简单事件的概率，并利用概率的假发公式和乘法公式等得到最终的结果。在这类计算中，全概率公式起着重要的作用。而贝叶斯公式正好与全概率公式的作用相反，当一个事件已近发生了，要考虑改时间发生的各种原因的可能性的大小的时候，也就是当遇到“由果溯因”的推断问题，就需要用到贝叶斯公式了。可以说，全概率公式与贝叶斯公式是对第一章前四节内容的总结以及综合应用。学习目标知识与技能了解全概率公式与贝叶斯公式的背景来源；了解全概率公式与贝叶斯公式的基本思想；掌握全概率公式与贝叶斯公式的适用范围、基本步骤及其具体运用。过程与方法通过“彩票案例”的引入，引导学生分析、解决问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发展整合所学知识解决实际问题的能力。情感态度与价值观通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索精神。教学分析教学内容1.“划分”定义2．全概率公式3．贝叶斯公式教学重点全概率公式、贝叶斯公式的适用范围、基本步骤。ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计2教学难点全概率公式、贝叶斯公式的理解与应用。教学方法与策略板书设计教学时间设计1.引导课题…………3分钟2.学生活动…………5分钟3.探索分析，引出“划分”定义和全概率公式…………22分钟4.贝叶斯公式及其应用…………18分钟5.课堂小结…………2分钟教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。教学进程教学意图教学内容教学理念引出课题（3分钟）在日常生活当中，我们知道，在购买体育彩票的时候，不论先买还是后买，中奖的机会都是均等的，但大家有没有考虑过，这里的原因在哪里？激发学生的兴趣，让学生体会数学来源于生活。学生活动（5分钟）问题细化，让学生们具体考虑：在n张体育彩票中有一张奖卷，第二个人摸到奖卷和第一个人摸到奖卷的概率分别是多少？学生会讨论第二个人摸到奖卷的前提条件，教师给予引导，为给出“划分”的定义做准备。从日常生活的经验和常识入手，调动学生的积极性。“划分”定义和全概率公式（22分钟）1.“划分”定义（完备事件组）设S为试验E的样本空间，1,2,nBBB为E的一组事件，若（i）,,,1,2,ijBBijijn（ii）1niiBS则称1,2,nBBB为样本空间S的一个划分。ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计3若1,2,nBBB是样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件1,2,nBBB中必有一个且仅有一个发生。在新的结论下，划分（完备事件组）可以不这样要求，只要满足如下即可：（1）1niiBA（2）B发生当且仅当B与1,2,...nAAA之一同时发生，此处并不要求1niiAS事实上，只要1niiBA即可。2.全概率公式设试验E的样本空间为S，A为E的事件，1,2,nBBB为S的一个划分，且()0(1,2,),iPBin则1()(|)()niiiPAPABPB称为全概率公式。证明：因为1212()nnAASABBBABABAB由假设()0(1,2,),iPBin且()(),,,1,2,ijABABijijn故：1()(|)()niiiPAPABPB再次回到体育彩票问题，使用全概率公式具体求解第一人和第二人分别摸到奖卷的概率。解：记iA=｛第i个人摸到奖卷｝，1,2i1111(),,nPAPAnn教师给予引导，回归到刚提出的问题上，对日常生活中买体育彩票这个事件的样本空间进行划分。为给出全概率公式做准备。通过对概率公式的讲解，具体解决体育彩票概率问题，使学生ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计4212110,,nPAAPAAn由全概率公式得21211211()()PAPAPAAPAPAAn类似可得341()()()nPAPAPAn.注：定义中的“划分”与“1,2,nBBB两两互斥，且()0(1,2,),iPBin事件A满足1niiAAB”等价。更加容易理解全概率公式的直观意义。贝叶斯公式及其应用（18分钟）贝叶斯公式：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，1,2,nBBB为S的一个划分，且()0,()0(1,2,),iPAPBin则：1(|)()(|)()(|),1,2,()(|)()iiiiiniiiPABPBPABPBPBAinPAPABPB称为贝叶斯（Bayes）公式注：（1）此公式的证明很简单，利用条件概率的定义和全概率公式即得。（2）在贝叶斯公式中取n=2，并将1B记为B，此时2B就是B，这时全概率公式和贝叶斯公式为：()(|)()(|)()PAPABPBPABPB()(|)()(|)()(|)()(|)()PABPABPBPBAPAPABPBPABPB例题：（血液化验）一项血液化验以概率0.95将带菌病人检出阳性，但也有1%的概率误将健康人检出阳性，设已知该种疾病的发病率为0.5%，求已知一个个体检出为阳性的条件下，该个体确实患有此种疾病的概率。此题的“结果”是血液化验出是阳性，产生此结通过具体的例题展现贝叶斯公式使用步骤，便于学生更易掌ADMINISTRATOR[日期]概率论与数理统计教学设计5果的两个可能“原因”是：一是带菌，二是健康人。问题是从已知“结果”发生的条件下推断该“结果”是由“带菌”产生的条件概率：P（带菌︱阳性）这里的发病率也称其为先验概率，而所求条件概率P（带菌︱阳性）称之为后验概率。记：B｛阳性｝，1A｛带菌｝2A｛不带菌｝则：12BBABA，且已知1()0.005PA12()0.95,()0.01,PBAPBA由贝叶斯公式：10.0050.95()0.3230.0050.950.9950.01PAB握。课堂小结（2分钟）利用全概率公式，可通过综合分析一事件发生的不同原因及其可能性来求得该事件发生的概率；利用贝叶斯公式可解决一事件已发生，该事件发生的各种原因的可能性的概率问题。通过对课堂内容的小结，让学生对本节课的内容连贯化、系统化。作业布置作业布置通过概率论与数理统计教学平台微信发布1.仔细阅读课本第24页至第27页；2.浏览概率论与数理统计教学平台中相关内容。明确告知学生作业要求。教学评价本节课的教学内容是教材教材第一章第五节，位于教材的第24页至第27页.是在前一节“条件概率”概念提出的基础上，从已知简单事件的概率推算出未知复杂事件的概率的研究课题之一。可以说，全概率公式与贝叶斯公式是对第一章前四节内容的总结以及综合应用。在本节课的课程教学中，采用“案例教学法”，通过实例吸引学生注意力，以问题为导向，以分析为重点，以应用为巩固拓展，引导学生思考、解决问题，进而使学生较快理解与掌握矩估计的基本思想和基本求解步骤。在课堂教学中要让学生多思、多练、多总结，并安排作业，让学生在脱离教师带领下自己思考做题。实践证明，在本节的教学过程中，学生均表现出较高的学习积极性和情感投入，通过交流互动说明学生已大致掌握本节内容的基本思想和基本求解步骤。