2016-2017-2第2章随机变量及其分布

2014-2015学年度第二学期国际经济学院概率论与数理统计教案【任课教师】李飞【授课专业】国际经济与贸易专业【授课班级】B1301（2J426）B1302（2J424）B1303（2J425）【课时计划】授课16周，周3课时，总48课时【授课教材】《概率论与数理统计》姚孟臣主编（经济应用数学基础三）ISBN978-7-300-12263-2【参考教材】◆《概率统计简明教程》同济大学应用数学系主编◆《概率论与数理统计》（第四版）浙江大学主编◆《概率论与数理统计》哈尔滨工业大学理学院主编◆《概率论与数理统计》中山大学数学力学系主编◆《理工科概率统计》（美）Ronald.Walpole等著陕西国际商贸学院《概率论与数理统计》教案---李飞1第二章随机变量及其分布第1节随机变量与分布函数第2节离散型随机变量及其分布一、教学要求：1、准确理解随机变量的定义2、掌握离散型随机变量的分布律定义及计算3、掌握几个常用的离散型随机变量的分布二、难点、重点：1、几个常用离散型随机变量的分布．三、教学内容：1、随机变量的定义定义1设随机变量的样本空间为e，称定义在样本空间上的实值单值函数()XXe为随机变量。概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布．引入随机变量后，随机事件就可以通过随机变量表示。如：（1）扔硬币：出现正面向上=1X（2）射击：5=5X射击次数不多于次（3）运算：aXbXbXa2、随机变量的分布函数（1）定义：设X是一个随机变量，称定义域为(,)，函数值在区间0,1上的实值函数()()FxPXx()x为随机变量X的分布函数。分布函数的概率意义：对任意实数x，()Fxx在点的函数值就是随机变量X落在区间x，上的概率。在课本P33中间有：()(0),()()(0)PXxFxPXxFxFx陕西国际商贸学院《概率论与数理统计》教案---李飞2(0)Fx指取x点左侧函数极限值，若()Fx连续，则(0)()FxFx若()Fx不连续，如：0()0.31Fx0022xxx则：(00)0,(20)0.3FF由分布函数的定义可知：()()()()()PaXbPXbPXaFbFa（2）分布函数的性质：①0()1();Fxx②对于任意两点121212,,()()xxxxFxFx当时，有，即任一分布函数均为单调不减；③()lim()0,()lim()1xxFFxFFx④000lim()()()xxFxFxx；即任一分布函数为右连续函数。例题：设一口袋中有依次标有-1、2、2、2、3、3数字的六个球，从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求X的分布函数。3、离散型随机变量及其分布如果随机变量仅可能取有限个或可列无限多个值，则称为离散型随机变量．设离散型随机变量的可能取值为12,,,,kxxx，事件iXx的概率为(1,2,)ipi那么，可用下列表格形式表达X取值的规律：1x2x…nx…其中01ip(1,2,)i，1ip。这个表格所表示的函数称为离散型随机变量X的分布律或概率函数。也可用一个表达式表示：()iiPXxp(1,2,)i.XXXXrP12nppp陕西国际商贸学院《概率论与数理统计》教案---李飞3美国教材中的定义：定义：序对(,())xfx的集合称为离散型随机变量X的概率函数、概率质量函数或概率分布，如果对X的每个可能结果x，满足：1.()0fx2.()1xfx3.()()PXxfx注：（1）若给出含参数的离散型随机变量的分布律，可依据定义计算并确定；（2）任意有限个或者可列个实数(1,2,)ipi，只要满足01ip(1,2,)i，1ip，一定是某离散型随机变量的分布律。（3）对离散型随机变量，iiaxbaXbXx，故有：()iiaxbPaXbPXx（4）由离散型随机变量的定义，可以写出其分布函数，也可由分布函数写出其分布律。一般地，离散型随机变量X的分布函数为：()()()()iiiixxxxFxPXxPXxpx也可写成分段函数形式：11210()1ikkpppFxp112231,1()iixxxxxxxxxxxixx可能取值的最右边的那个值（5）可以依据离散型随机变量的分布函数求某区间上的概率，只要将区间两端点代入函数计算函数值只差即可，也可以计算某一取值点的概率。陕西国际商贸学院《概率论与数理统计》教案---李飞44、常用离散型随机变量的分布(1)0—1分布，它的概率函数为，其中，或1，．也可以简单的用表格表示：X01概率kp1pp(2)二项分布，它的概率函数为()(1)kknknPXkCPp0,1,2,,kn，01p（３）超几何分布，有N个样本，其中M个是不合格的。(,,,)XHkNMn描述了在该N个样本中抽出n个，其中k个是不合格的概率设为正整数，且，又设随机变量的概率函数为．则称随机变量(,,,)XHkNMn的超几何分布．例：在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型。其中N=30.M=10.n=5.k=4or5P(一等奖)=P(X=4or5)=P(X=4)+P(X=5)由公式(1,)Bp1()(1)iiPXipp0i01p(,)Bnp,,NMn,nNMNX(),0,1,,MNMknkPXkknNn陕西国际商贸学院《概率论与数理统计》教案---李飞5.得：411020530(4)CCPXC501020530(5)CCPXCP(获得一等奖)=1063393(４)泊松分布，它的概率函数为，其中，，．泊松分布产生的一般条件：在自然界和现实生活中，常遇到在随机时刻出现的某种事件。把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列称为随机事件流。若随机事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称事件流为泊松事件流（泊松流）。平稳性：在任意时间区间内，事件发生k次（0k）的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关。无后效性：在不相重叠的时间段内，事件的发生相互独立。普通性：如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可以忽略不计。对泊松流，在任意时间间隔（0，t）内，事件发生的次数服从参数为的泊松分布，称为泊松流的强度。(５)均匀分布，它的概率函数为，其中，．（6）几何分布，在第n次伯努利试验才得到第一次成功的概率。详细的说，是：(),0,1,,MNMknkPXkknNn()P()!iPXiei0,1,2,,,in01()iPXan0,1,2,,in()Gp陕西国际商贸学院《概率论与数理统计》教案---李飞6n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的概率。它的概率函数为，其中，，．5、二项分布的泊松近似对二项分布(,)Bnp，当试验的次数n很大时，计算其概率运算很麻烦。定理（泊松定理）：在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为p（与试验的次数n有关），如果n时，(0)np为常数，则对任意给定的k，有：nlim(:,)lim(1)!kkknknnBknpCppek一般应用时，n很大时，p必定很小，此时np(1)!kkknknCppek证明：由pn，有：(1)(1)(1)()(1)!kknkknknnnnkkkCppknn111(1)(1)(1)(1)!knkkknnnn对于任意固定的k，当n时：111(1)(1)1knnlim(1)lim1()nnnnenn(1)1kn故有：lim(1)!kkknknnCppek6、超几何分布的二项近似从N件产品中随机抽取n件，当(10)NnNn时，不放回抽样可近似看做有放回抽样，这时，超几何分布就可用二项分布近似，(1)(0,1,)knkkknkMNMnnNCCMCppknpCN其中；1()(1)iPXipp1,2,i01p陕西国际商贸学院《概率论与数理统计》教案---李飞7定理（二项定理）：若N，MpN（n，k不变）则：(1)()knkkknkMNMnnNCCCppNC7、例题：P38例题3P39例题4P40例题5例题6P41例题7四、小结五、作业：P702、3、4、8陕西国际商贸学院《概率论与数理统计》教案---李飞8第三节连续型随机变量及其分布一、教学要求：1、掌握连续型随机变量及其概率密度的定义及计算2、掌握几个常用的连续型随机变量的分布函数，并掌握其性质，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用．二、难点、重点：1、连续型随机变量及其概率密度的定义及计算2、几个常用的连续型随机变量的分布函数及其性质．三、教学内容：0、回顾“离散型分布函数”概念题：如果某汽车代理商出售的某种进口车只有50%安装了安全气囊，求该代理商接下来出售的4辆汽车中安装安全气囊的汽车数的分布、分布函数。解：因为销售出去的汽车安装安全气囊的概率为0.5，样本空间中有422222个等可能的样本点。假设随机变量X为销售出去有安全气囊的汽车数，则X的可能取值为：0,1,2,3,4故：44()2kCPXk(0,1,2,3,4)k用表格形式表示为：X01234P116416616416116由分布函数的定义，（1）0,()0xFx（2）101,()(0)16xFxPX（3）512,()(0)(1)16xFxPXPX陕西国际商贸学院《概率论与数理统计》教案---李飞9（4）1123,()16xFx（5）1534,()16xFx（6）4,()1xFx故：X的分布函数为：0,1/16,5/16,()11/16,15/16,1,Fx0011223344xxxxxx1、连续型随机变量及其概率密度设随机变量的分布函数为，如果存在一个非负可积函数，使得对于任一实数，有成立，则称X为连续型随机变量，函数称为连续型随机变量的概率密度．如：设随机变量X有分布函数：X()Fx()fxx()()xFxfxdx()fxX陕西国际商贸学院《概率论与数理统计》教案---李飞102．概率密度及连续型随机变量的性质（1）（2）；（3）对于任意实数1212,()xxxx211221()()()()xxPxXxFxFxfxdx3．由分布函数与密度函数的性质可以得到下面的结论：（1）连续型随机变量的分布函数为是连续函数，且在的连续点处有；由性质（2）知，介于曲线()yfx与Ox轴之间的面积等于1，由性质(3)知X落在区间12,xx的概率12()PxXx等于区间12,xx上曲线()yfx之下的曲边梯形的面积。故在()fx的连续点x处有：00()()()()limlimxxFxxFxPxXxxfxxx若不计高阶无穷小，则有：()()PxXxxfxx这表示X落在小区间,xxx上的概率近似等于()fxx（2）设为连续型随机变量，则对任意一个实数,a()0;PXa设X的分布函数为(),0,Fxx则由Xaaxxa得：()fx()0;fx()1fxdxX()Fx()Fx()()