微分方程模型2

2012-8-3微分方程模型主讲人窦霁虹2012-8-32012-8-3生物数学是指介于生物学和数学之间的边缘学科。这门学科主要目的是对与生物有关的数学方法进行理论研究，同时利用数学方法来解决生物学问题。生物种群模型就是这门学科的重要组成部分。生物数学（biomathematics）2012-8-3种群(Population)：是指在特定时间里占据一定空间的同一物种的有机体集合。种群生态学（populationecology）：主要研究种群数量的时间动态与环境相互作用关系的科学。种群分为单种群和多种群。生物种群模型2012-8-32)罗杰斯特(Logistic)模型)(00)()(ttretNtNNKNrdtdN)1(表示该种群的最大容纳量。K)()()(0001)(ttrtNtNKeKtN1单种群的数学模型：1)马尔萨斯(Malthus)模型rNdtdN表示时刻的种群数量，称为内禀增长率。Ntr2012-8-34)开发了的单种群模型hNNfdtdN)(具有常数收获率)()(thNNfdtdN具有时变收获率3）一般的种群模型)(NNfdtdN2012-8-32两种群的一般模型两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。设甲、乙两种群在时刻的数量为，则t)(),(tytx)()()()(222111ygxfrydtdyygxfrxdtdx)()(222120121110yaxaaydtdyyaxaaxdtdx线性化，得2012-8-3)()(222120121110yaxaaydtdyyaxaaxdtdx1)表示甲（乙）种群的自然生长率；2)表示甲（乙）种群为非密度制约，表示甲（乙）种群为密度制约；3)表示甲、乙种群相互竞争；4)表示甲、乙种群相互依存；5)表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。)(2010aa0,02211aa0,02211aa02112aa0,02112aa0,02112aa2012-8-3模型的应用1）同一行业的大鱼吃小鱼现象；2）企业合作或竞争对企业业绩的影响。2012-8-33三种群的一般模型三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中每两个种群之间的关系仍可归结为：相互竞争、相互依存、弱肉强食。三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的数学模型。这些模型用方程组表示，或用图形表示。2012-8-3记三个种群分别为123并约定1）种群供食于种群表示为12122）种群为密度制约可表示为113）种群不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组成的系统）为生，114）种群与种群相互竞争：12125）种群与种群互惠共存：1212）2012-8-3如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系，则三者关系有三种：两个食饵种群，一个捕食者种群。一个食饵种群，两个捕食者种群。捕食链。CBACBACBA2012-8-3下面对于种群种内影响和种间影响均为线性情形，建立其相互作用的数学模型（Volterra模型）（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C。设A，B，C在t时刻的密度分别为)(),(),(txtxtx321假设：C种群主要以A，B种群为食饵，A，B不存在时，C要逐渐绝灭，C不是密度制约的；A，B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互竞争。图示如下：2012-8-3CBA（）)()()(232131303332322212120223132121111011xaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdx3,2,1,0;3,2,1,,00iajiaiij2012-8-3（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B，C。ACB（）)()()(333232131303332322212120223132121011xaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaaxdtdx3,2,1,0;3,2,1,,00iajiaiij2012-8-3)()()(232131303332312120223132121111011xaxaaxdtdxxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxACB）3,2,1,0;3,2,1,,00iajiaiij2012-8-3)()()(333232303332322212120222121111011xaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaaxdtdxACB）））（3）捕食链：A是B的食饵，B是C的食饵。3,2,1,0;3,2,1,,00iajiaiij2012-8-3)()()(333232131303332322212120223132121111011xaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdx3,2,1,0;3,2,1,,00iajiaiijACB）））说明下列微分方程组的生态意义2012-8-3)()()(333232131303332322212120223132121111011xaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxACB）））3,2,1,0;3,2,1,,00iajiaiij2012-8-3)()()(333232131303332322212120223132121111011xaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxxaxaxaaxdtdxACB）））3,2,1,0;3,2,1,,00iajiaiij2012-8-3种群模型的求解方法：微分方程定性与稳定性理论数值方法2012-8-3平面自治系统)1(),(),(yxgdtdyyxfdtdx微分方程定性与稳定性理论2012-8-3假定组(1)的右端函数在平面区域满足解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点有唯一的轨线。),(),(yxgdtdyyxfdtdx),(),,(yxgyxfGttytxgytytxfxtytxl)),(),(()),(),((:))(),((相平面：所在的平面。yx,轨线：2012-8-3平衡点（Equilibrium）：使得的点为组(1)的平衡点，否则称为常点。),(00yx0),(),(002002yxgyxf即平衡点满足0),(0),(0000yxgyxf),(000yxP记为2012-8-3称平衡点是稳定的（stable）；否则是不稳定（unstable）的。稳定与不稳定：如果存在某个邻域，使系统（1）的解从这个邻域内的某一初值出发，满足))0(),0((yx))(),((tytx00)(lim,)(limytyxtxtt),(000yxP0P2012-8-3其中是常数。)2(dycxdtdybyaxdtdxdcba,,,平面线性微分方程组的平衡点分类系统（2）有唯一的平衡点（0，0）。记系数矩阵dcbaA0detA2012-8-3)3(0)(2qpdcbaDbcadqdap),(2422,1qpp记组(2)的系数矩阵构成的特征方程为：其中唯一的平衡点（0，0）的稳定性由特征根确定。方程组（2）解的一般形式为2012-8-3方程组（2）解的一般形式为ttttecececectytx212122211211)()(tttttecectecectytx111122211211)()(2012-8-3unstable中心(center)unstable不稳定焦点stable稳定焦点(focus)unstable不稳定退化结点stable稳定退化结点unstable鞍点(saddle)unstable不稳定结点stable稳定结点(node)稳定性平衡点类型21,021qp,qpqp4,0,02021qpqp4,0,022100q0210210,2,1i0,2,1i0,2,1iqpqp4,0,02qpqp4,0,02qpqp4,0,02qpqp4,0,02qpqp4,0,02bcadqdap),(2422,1qpp2012-8-3pqqp420q鞍点区qp42稳定结点区qp42不稳定结点区稳定焦点区不稳定焦点区奇点的性态与的关系,qp)0,0(2012-8-3简单非线性微分方程的奇点)1(),(),(yxgdtdyyxfdtdx),())(,())(,(),(),(),())(,())(,(),(),(0000000000000000yxYyyyxgxxyxgyxgyxgyxXyyyxfxxyxfyxfyxfyxyx0101,yyyxxx2012-8-3),(),(),(),(),(),(111001001111001001yxYyyxgxyxgdtdyyxXyyxfxyxfdtdxyxyx称下列方程组为组(1)的一次（线性）近似方程组：10010011001001),(),(),(),(yyxgxyxgdtdyyyxfxyxfdtdxyxyx2012-8-3结论1如果则(4)的一次近似方程组的奇点在五种一般情形与组（4）的奇点的性态相同。)4(),(),(yxYdycxdtdyyxXbyaxdtdx)0,0()0,0()5(0),(lim),(lim22002200yxyxYyxyxXyxyx2012-8-3结论2设系统),(),(yxYdycxdtdyyxXbyaxdtdx),(),,(yxYyxXO(0,0)为其对应线性系统的中心点，若在O的邻域内存在此系统的一个连续的首次积分，则O必为中心。在O(0,0)点的邻域内解析。2012-8-3捕食与被捕食模型问题的提出20世纪20年代，意大利生物学家U.D’Ancona在研究鱼类变化规律时，无意中发现了第一次世界大战期间，意大利Finme港收购站的软骨掠肉鱼（鲨鱼等以其他鱼为食的鱼）在鱼类收购量中的所占比例的资料：10.7%14.8%15.0%16.0%27.3%36.4%21.2%22.1%21.4%11.99%19231922192119201919191819171916191519141914,7----1918,112012-8-3战争期间鲨鱼比例明显增加！显然，捕获的各种鱼的比例基本上代表了地中海渔场中各种鱼的比例。战争中捕获量大幅下降，应该使渔场中食用鱼和以此为生的鲨鱼数量同时增加。然而，捕获量的下降为什么会使鲨鱼的比例增加？发现D’Ancona的迷惑：2012-8-3请教著名的意大利数学家Volterra。将鱼分为两类，一类为捕食(predator)种群，另一类为被捕食(prey)种群。设t时刻两种群的数量（或密度）为y(t)，x(t)。在无捕捞和忽略了密度制约的情形下，有：)()(cxdydtdybyaxdtdx2012-8-3)()(cxdydtdybyaxdtdx平衡点为),(,)0,0(bacdMOyyxgxyxgdtdyyyxfx