大学生数学建模论文：SARS疫情对某些经济指标的影响

1SARS疫情对某些经济指标的影响摘要本文针对某市近六年的历史数据，建立了灰色预测模型，预测出2003年正常情况下部分经济指标的发展规律，再根据实际统计数据，计算因为SARS疫情对2003年相应经济指标所造成的损失，进而根据损失情况做出评估。首先，利用灰色预测理论建立灰微分方程模型，根据原始数据（见附录1）分别计算1997年1月到2002年12月商品零售额、接待海外旅游人数、综合服务收入的年平均值，构成建立模型所需数列)0(x，并对数列作必要的检验处理。建立灰色模型1,1GM，建立灰微分方程)6,3,2()()()0()1(ibiazix求解灰微分方程，得出灰微分方程模型的解，进行灰预测，计算2003年各项经济指标的月平均值x，每月比例数u，可求得预测值。通过历史数据计算的每月指标值与全年总值的关系,从而可预测出正常情况下2003年每个月的指标值,再与实际值比较可以估算出SARS疫情实际造成的影响。其次，结合预测与实际值数据，得出SARA对该市相关行业影响情况。2003年4、5、6、7四个月SARA疫情对该市的商品零售业的影响最为严重，8月份基本恢复正常。对旅游业来说，除了一月份以外，其余各月旅游人数均有减少，其中最严重的在5、6、7三月，之后旅游人数逐渐回升。对综合服务业来说，在7月份之后SARS对其影响是巨大的。但总体来说，综合服务业整体呈不断的增长态势。最后，检验预测值，对模型进行误差分析、优缺点评价与推广。关键词SARS疫情灰色预测模型评估预测MATLAB2§1问题的提出一、背景知识2003年SARS疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定的影响，特别是对部分疫情比较严重的省市的相关行业所造成的影响是很明显的。经济影响主要分为直接影响和间接影响，直接影响涉及到商品零售业、旅游业、综合服务业等，很多方面难以进行定量地评估。现仅就SARA疫情较重的某城市商品零售业、旅游业、综合服务业的影响进行定量评估分析。二、相关试验数据见附录1.三、要解决的问题试根据附录给出的这些历史数据建立预测评估模型，评估2003年SARS疫情给该市商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。§2模型的假设1、假设某市从1997年1月-2003年12月的商品零售额、接待海外旅游人数、综合服务收入的统计数据准确可靠。2、假设指标的各年均值完全反映了该指标在该年的情况。§3名词解释与符号说明一、名词解释1、SARS：传染性非典型肺炎，是一种新的呼吸道传染病，传染性极强，病情发展快速。2、灰预测：是基于灰色动态模型(GreyDynamicModel），简称GM的预测。GM(m,n)表示m阶n个变量的微分方程。微分方程适合描述社会经济系统，生命科学内部过程动态特征。3、灰色系统：介于白色系统与黑色，系统之间的系统（GreySystem），即系统内部，信息和特性是部分已知的另一部分是未知的。3二、符号说明序号符号符号说明1)0(kx表示第k个待估因素第i年的均值2)(t表示参考数列第t个数的级比3)0(z表示均值数列4X表示原数列的列向量5表示微分方程的系数列向量6Z表示均值列向量的相反数和同维全为1的列向量组成的矩阵7baˆˆ和表示微分方程的系数估计值§5模型的建立与求解一、模型的建立1、该题要求利用历史数据建立预测评估模型，评估2003年SARS疫情给该市商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。对于某一待评估的因素，我们建立灰色预测模型，利用MATLAB，EXCEL进行数据的处理。2、我们先计算待评估因素1997年到2002年的各年平均值，即：121)0(121iikxx其中，6,,2,1k，ix代表评估因素第i个月指标值，得出参考数列：))6(,),2(),1(()0()0()0()0(xxxx然后，计算参考数列的极比，计算公式为：)()1()()0()0(txtxt，6,,3,2t判断其值是否都落入区间),(1212nnee。两种情况：（1）若不是全都落入该区域，则对)0(x作平移变换cxy)0()0(，其中c在之后的分析中根据情况具体给出使得数列))6(,),2(),1(()0()0()0()0(yyyy通过检验。（2）若完全落入该区域，则)0(x可以作为模型GM(1,1)，进行数据灰色预测。其次，我们通过MATLAB画出通过检验的数列))6(,),2(),1(()0()0()0()0(xxxx观察图形，判断数据是否有规律性。两种情况：（1）若有规律性，则无需进行数据处理。4（2）若无规律性，则再进行数据的累加处理。假设处理后的数据为))6(,),2(),1(()1()1()1()1(xxxx再进行累加一次的处理，将)1(x进行均值生成)(5.0)1(5.0)()1()1()0(txtxtz6,,3,2t即：))6(,),3(),2(()0()0()0()0(zzzz于是，建立灰微分方程btaztx)()()0()0(其中，6,,3,2t，即：bazxbazxbazx)6()6()3()3()2()2()0()0()0()0()0()0(相应的白化微分方程为baxdtdx)1()1(称之为)1,1(GM模型。令)6()3()2()0()0()0(xxxX，ba，1)6(1)3(1)2()0()0()0(zzzZ矩阵形式即为：ZX。由最小二乘法，求使得)ˆ()ˆ()ˆ(ZXZXJT达到最小值的ˆ。XZZZbaTT1)(ˆˆˆ*于是，得到预测值：abeabxtxat))1(()1(ˆ)0()1(，)1,,2,1(nt还原得到：)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0(txtxtx，)1,,2,1(nt二、模型的求解1.数据处理：利用EXCEL求得5表1-待评因素1997-2002年的平均值)0(1x)0(2x)0(3x87.6166719.1483.272798.518.10833588.1818108.47520.83333657.8182118.416724.39167778.3636132.808324.75874.9091145.408327.1751000.909利用matlab作出三者的曲线图：11.522.533.544.555.568090100110120130140150图一11.522.533.544.555.561819202122232425262728图二611.522.533.544.555.5640050060070080090010001100图三由以上三幅图可知，待评估因素一和三数据符合规律，但是从图二看出没有明显规律性因此，将原始数据作累加生成的数列：表2-待评因素1997-2002年的平均值)0(1x)0(2x)0(3x87.6166719.1483.272798.537.20833588.1818108.47558.04167657.8182118.416782.43333778.3636132.8083107.18333874.9091145.4083134.358331000.909再将处理后的数据作图：11.522.533.544.555.56020406080100120140图四观察图形可知三组数据都有明显的规律性。2、数据检验：为了保证建模方法的可行性，需要对已知数列做必要的检验处理。通过模型)()1()()0()0(txtxt计算得出：7表3-数列的极比1230.8895090.513330.8216380.9080430.641060.894140.9160450.704100.845130.8916360.769090.8896510.9133470.797740.874114同时，通过matlab算出判定区间为3307.17515.0，对比得出1和3所有值均落入区间内，但是，2没通过检验。因此，我们选取常数40c对其进行平移变换得：表4-修改后的极比20.765460.787510.800780.831840.84414完全落入区间，得一次累加后的数列如表5：表5–一次累加后的数列)1(1x)1(2x)1(3x87.6166759.1483.2727186.116777.208331071.455294.591798.041671729.273413.0083122.433332507.636545.8167147.183333382.545691.225174.358334383.4553、模型求解对通过极比的数列)0(x做一次累加，记作：)1(kx表6-累加完的数列)1(1x)1(2x)1(3x87.616759483.2727186.117136.20831071.455294.592234.251729.273413.008356.68332507.636545.817503.86673382.545691.225678.2254383.455将)1(kx进行均值生成：)(5.0)1(5.0)()1()1()0(txtxtz，6,,3,2t8表7-均值生成数列)2()0(z)3()0(z)4()0(z136.866797.60417777.3639240.3542185.22921400.364353.8295.46672118.455479.4125430.2752945.091618.5209591.04583883根据以上的公式(*)，通过MATLAB编程求得：表8-灰微分方程中的系数)1(1x)1(2x)1(3xaˆ-0.0983-0.1960-0.1343bˆ84.756361.1324481.2013进而我们可以算出2003年的预测值并与实际值进行比较得出以下三个表：表9-商品的零售额(单位:亿元)月份123456789101112实际值163160158145124144157163172181174176.5预测值153155144151158157163161168171167177.1表10-接待海外旅游人数(单位:万人)月份123456789101112实际值15.417.123.511.61.782.618.816.220.124.926.521.8预测值14.424.526.521.823.420.618.427.126.830.533.225.5表11-综合服务业累计数额(单位:亿元)月份23456789101112实际值241404584741923111412981492168418852218预测值261.9425.1594.8811.49991200.91435.81654.418642079.82400.9我们观察三个比较后的数据，为了更好的呈现出对比的结果，我们利用excel软件作图，作2003年商品零售额实际值与预测值对比图（见图5）结合图5分析得出，2003年4、5、6、7四个月SARA疫情对该市的商品零售业的影9响最为严重，共损失59亿元，8月份基本恢复正常。结合图6分析得出，对旅游业来说，除了一月份以外，其余各月旅游人数均有减少，其中最严重的在5、6、7三月，之后旅游人数逐渐回升。结合图7分析得出，对综合服务业来说，在7月份之后SARS对其影响是巨大的。但总体来说，综合服务业整体呈不断的增长态势。§6模型的误差分析运用相对误差检验对该模型作误差分析，通过计算相对误差)(tnttytytyt,,2,1)()(ˆ)()()0()0()0(如果)(t0.2,则可认为达到一般要求，如果)(t0.1,则可认为达到较高要求。运用MATLAB软件计算)(t（见附录2），可得2003年三个行业的预测后的相对误差值为：0007.00005.00177.0016