中考专题复习--圆

数学·北师大版┃知识归类┃知识归纳┃1．圆的对称性圆是图形，它的对称轴是，有条对称轴．圆是图形，它的对称中心是，圆绕圆心旋转和自身重合．轴对称直径所在的直线无数中心对称圆心任意角度数学·北师大版┃知识归类数学·新课标（RJ）2．垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径，且.符号语言(如图24－12所示)：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴，，.推论：平分弦()的直径，并且.平分弦弦所对的两条弧AM＝BM不是直径垂直于弦平分弦所对的两条弧数学·北师大版┃知识归类数学·新课标（RJ）符号语言(如图24－12所示)：∵CD是⊙O的直径，CD平分AB，∴，，.CD⊥AB数学·北师大版┃知识归类数学·新课标（RJ）[易错点]推论“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中“弦不是直径”是它的重要条件，因为一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们未必垂直．┃知识归类数学·新课标（RJ）3．弧，弦，圆心角之间的关系定理(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等．符号语言(如图24－13所示)：∵∠AOB＝∠COD，∴，.弧弦AB＝CD┃知识归类数学·新课标（RJ）(2)在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．[注意]一定要在“在同圆或等圆中”这个前提下，才能使用这个定理．┃知识归类数学·新课标（RJ）4．圆周角定理及推论圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的相等，都等于这条弧所对的圆心角的；圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是，的圆周角所对的弦是直径．相等的圆周角所对的弧.5．点与圆的位置关系d表示点到圆心的距离，r表示半径．点和圆的关系如下表：圆周角一半90°90°相等┃知识归类数学·新课标（RJ）点与圆的位置关系d与r的大小关系点在圆内dr点在圆上d＝r点在圆外dr图24－14┃知识归类数学·新课标（RJ）[注意]要判断一个点与圆的位置关系，关键是比较d与r的大小关系；反过来，由点与圆的位置关系，也可以判定d与r的大小．6．直线与圆的位置关系设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离.┃知识归类数学·新课标（RJ）位置关系相离相切相交图形公共点个数_______________________________________数量关系______________________________________012drd＝rdr┃知识归类数学·新课标（RJ）[易错点]将圆心到直线上某一点的距离看成是圆心到直线的距离．7．圆与圆的位置关系在同一平面内两圆做相对运动，可以得到下面五种位置关系，其中R和r为两圆半径(R≥r)，d为圆心距.┃知识归类数学·新课标（RJ）位置关系公共点个数d与R和r的关系外离____________________外切____________________相交____________________________内切____________________内含________________________[注意]两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆．[易错点]混淆圆与圆的位置关系及相对应的d与R和r的数量关系．0dR＋r1d＝R＋r2R－r＜dR＋r1d＝R－r00≤dR－r┃知识归类数学·新课标（RJ）8．三角形的外接圆和三角形的内切圆确定圆的条件：确定一个圆．三角形的外心就是三角形的交点，它到三角形的距离相等．三角形的内心就是的交点，它到三角形的距离相等．[注意](1)经过在同一直线上的3点不能作圆；(2)找三角形外接圆只需要画出两条边的垂直平分线的交点，找三角形内切圆只需要画出两内角的角平分线交点．不在同一条直线上的三个点三个顶点三条角平分线三条边三条中垂线┃知识归类数学·新课标（RJ）9．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的相等，这一点和圆心的连线平分.10．切线的判定与性质判定定理：经过的外端并且于这条半径的直线是圆的切线．性质定理：圆的切线于过切点的半径．切线长两条切线的夹角半径垂直垂直┃知识归类数学·新课标（RJ）11．圆中的计算问题(1)n°的圆心角所对的弧长l＝.(2)n°的圆心角所对的扇形面积S＝＝.(3)圆锥的侧面积和全面积由于圆锥的侧面展开图是，这个扇形的半径等于圆锥的，弧长等于圆锥的，所以圆锥的侧面积S＝(l为母线长，r为底面圆的半径)；圆锥的全面积等于它的与的和．nπR180nπR236012lR扇形母线长底面周长πrl侧面积底面积┃知识归类数学·新课标（RJ）[注意]①弧长和扇形面积公式中n不带单位．②扇形面积公式S＝12lR与三角形面积公式类似．为了便于记忆，可以把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底边长，把R看成底边上的高．③根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R四个量中的任意两个，都可以求出另外两个量．►考点一垂径定理及其逆定理┃考点攻略┃例1已知以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦CD交小圆于点E、F，OE、OF的延长线分别交大圆于点A、B.(1)求证：CE＝DF；(2)求证：AC＝BD；(3)若CD＝4，EF＝2，求这两个圆围成圆环的面积．数学·新课标（RJ）图24－15┃考点攻略┃考点攻略[解析]根据垂径定理及推论可得出线段相等、角相等、弧相等、三角形全等等结论；同时利用构造勾股定理列出方程求出圆环的面积．图24－16数学·新课标（RJ）┃考点攻略解：(1)证明：过点O作OH⊥CD于H，∵OH⊥CD，OH⊥EF，∴CH＝DH，EH＝FH，∴CH－EH＝DH－FH，∴CE＝DF.(2)证明：连接AC、BD.∵OA＝OB，OE＝OF，∴OA－OE＝OB－OF，∠OEF＝∠OFE，∴AE＝BF.∵∠OEF＝∠CEA，∠OFE＝∠DFB，数学·新课标（RJ）┃考点攻略∴∠CEA＝∠DFB.由(1)可知CE＝DF，∴△AEC≌△BFD，∴AC＝BD.(3)连接OC、OD，∵CD＝4，EF＝2，∴CH＝12CD＝2，EH＝12EF＝1，∴S环＝πOC2－πOE2＝π(OC2－OE2)＝π[(OH2＋CH2)－(OH2＋EH2)]＝π(CH2－EH2)＝π(22－12)＝3π.数学·新课标（RJ）┃考点攻略方法技巧(1)垂径定理是根据圆的对称性推导出来的，该定理及其推论是证明线段相等、垂直关系、弧相等的重要依据．利用垂径定理常作“垂直于弦的直径”辅助线(往往又只是作圆心到弦的垂线段，如本例)；(2)垂径定理常与勾股定理结合在一起，进行有关圆的半径R、圆心到弦的距离d、弦长a等数量的计算．这些量之间的关系是R2＝d2＋a22.数学·新课标（RJ）┃考点攻略►考点二圆心角与圆周角例2如图24－17所示，C为半圆上一点，AC＝CE，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE交PC于点D，交CB于点F.求证：AD＝CD.数学·新课标（RJ）图24－17┃考点攻略[解析]要证明AD＝CD，可连接AC，只要证明△ACD为等腰三角形即可．图24－18数学·新课标（RJ）┃考点攻略证明：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACD＋∠DCB＝90°.∵CP⊥AB于P，∴∠B＋∠DCB＝90°.∴∠ACD＝∠B.又∵AC＝CE，∴∠B＝∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.数学·新课标（RJ）方法技巧当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意90°的圆周角的构造．┃考点攻略►考点三点与圆、直线与圆的位置关系例3在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心，2.4cm为半径画圆．求(1)AB的中点D与⊙C的位置关系；(2)直线AB与⊙C的位置关系．数学·新课标（RJ）图24－19┃考点攻略[解析]因为⊙C的半径已经给出，所以只需求出点D到点C的距离和点C到直线AB的距离即可．数学·新课标（RJ）┃考点攻略数学·新课标（RJ）解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝32＋42＝5(cm)．∵点D是AB的中点，∴CD＝12AB＝2.5cm2.4cm.∴点D在⊙C的外部．(2)作CE⊥AB于点E，根据三角形面积公式，得AC·BC＝AB·CE，∴3×4＝5·CE，解得CE＝2.4cm.∴直线AB与⊙C相切．┃考点攻略►考点四圆和圆的位置关系例4⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为5cm，圆心距O1O2＝2cm，两圆的位置关系是()A．外切B．相交C．内切D．内含C[解析]C圆心距O1O2＝2cm，是两圆的半径之差，所以两圆内切．┃考点攻略►考点五切线的判定和性质例5已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.(1)如图24－20①所示，若AB＝2，∠P＝30°，求AP的长(结果保留根号)；(2)如图24－20②所示，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．数学·新课标（RJ）┃考点攻略数学·新课标（RJ）图24－20┃考点攻略数学·新课标（RJ）解：(1)∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP＝90°.在Rt△PAB中，AB＝2，∠P＝30°，∴BP＝2AB＝2×2＝4.由勾股定理，得AP＝BP2－AB2＝42－22＝23.图24－21┃考点攻略数学·新课标（RJ）(2)如图24－21，连接OC、AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，有∠ACP＝90°.在Rt△APC中，D为AP的中点，∴CD＝12AP＝AD.∴∠DAC＝∠DCA.又∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA.┃考点攻略数学·新课标（RJ）∵∠OAC＋∠DAC＝∠PAB＝90°，∴∠OCA＋∠DCA＝∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∴直线CD是⊙O的切线．┃考点攻略数学·新课标（RJ）方法技巧圆的切线的判定常见方法有两种类型：(1)当已知条件中已明确给出直线与圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个半径垂直于已知直线．这种方法简称“连半径，证垂直”．(2)当已知条件中没有明确给出直线与圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度等于圆的半径长．这种方法简称“作垂直，证半径”．本例属于第一种类型．┃考点攻略►考点六圆的相关计算例6如图24－22所示，已知在⊙O中，AB＝43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°.(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．数学·新课标（RJ）┃考点攻略数学·新课标（RJ）┃考点攻略数学·新课标（RJ）解：(1)连接AD.∵AC⊥BD，AC是直径，∴AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BF＝FD，BC＝CD.∴∠BAD＝2∠BAC＝60°，故∠BOD＝2∠BAD＝120°.∵BF＝12AB＝23，根据勾股定理得AF＝AB2－BF2＝432－232＝6.在Rt△OBF中，OB2＝BF2＋OF2，┃考点攻略数学·新课标（RJ）即(23)2＋(6－OB)2＝OB2.∴OB＝4.∴S阴影＝120π×42360＝163π.(2)设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴2πr＝120π×4180，∴r＝43.┃考点攻略数学·新课标（RJ）易错警示(1)扇形的周长等于弧长与经过弧的两个端点的半径的和，千万不要错误地认为扇形的周长等于扇形的弧长．(2)计算圆锥的侧面积时，要注意各量之间的关系，不要把圆锥底面圆的半径当成扇形的半径，也不要把圆锥的母线长当成扇形的弧长．┃考点攻略►考点七与圆有关的综合运用问题例7如图24－24所示，已知点A(63，0)，B(0,6)，经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下做匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向做匀速运动．设它们运动的时间为t秒．(1)用含t的代数式表示点P的坐标；(2)过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系