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问题的提出在激烈的篮球比赛中,提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用,而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式--------罚球我们建立数学模型研究以下数学问题:1)先不考虑篮球和篮框的大小,讨论球心命中框心的条件。对不同的出手高度h和出手速度v,确定出手角度和篮框的入射角度;2)考虑篮球和篮框的大小,讨论球心命中框心且球入框的条件。检查上面得到的出手角度和篮框的入射角度是否符合这个条件;3)为了使球入框,球心不一定要命中框心,可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)。讨论保证球入框的条件下,出手角度允许的最大偏差,和出手速度允许的最大偏差;模型假设1、假设求出手后不考虑自身的旋转2、不考虑篮球碰篮板或篮框入框3、不考虑空气阻力对篮球的影响时符号设定d篮球直径D篮框直径L罚球点和篮框中心的水平距离H篮框中心的高度h篮球运动员的出手高度v篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸,L=4.6m,H=3.05m,d=24.6cm,D=45cm.问题的分析与模型的建立•1、问题1)的分析与模型的建立:不考虑篮球和篮框的大小的简单情况,相当于将球视为质点(球心)的斜抛运动。将坐标原点定在球心P,列出x(水平)方向和y(竖直)方向的运动方程,就可以得到球心的运动轨迹,于是球心命中框心的条件可以表示为出手角度与出手速度、出手高度之间的关系,以及篮框的入射角度与出手角度,由此可对不同的出手速度,出手高度,计算出手角度和入射角度。罚球点投篮示意图voPHhL由于不考虑篮球和篮筐的大小,不考虑空气阻力的影响,从未出手时的球心p为坐标愿点,x轴为水平方向,y轴为竖直方向,篮球在t=0时以出手速度v和出手角度投出,可视为质点(球心)的斜抛运动,其运动方程是我们熟知的(1)tvtxcos)(2sin)(2gttvty其中g是重力加速度.由此可得球心运动轨迹为如下抛物线(2)以x=L,y=H-h代入(2)式,就得到球心命中框心的条件(3)可以看出,给定出手速度v和出手高度h,有两个出手角度a满足这个条件222cos2tanvgxxy22222211tanvgLhHvggLv而(3)式有解的前提为(4)可对v求解得(5)于是对于一定的高度h,使(5)式等号成立的为最小出手速度,它是h的减函数.由(3)式计算出的两个出手角度记作、,且设,可以看出,是h和v的增函数.0221222vgLhHvg222)(hHLhHgvminv11122球入篮筐时的入射角度可从下式得到(6)这里的导数由(2)式计算代入后可得•(7)于是对应于、,有、.设.LxdxdytanLhH)(2tantan211212•2、问题2)的分析与模型的建立:考虑篮球和篮框的大小时,如图,篮球的直径d,篮框的直径D。显然,即使球心命中球框,若入射角太小,球会碰o到框的近侧A,不能入框。由ADB图不难得出应满足的球心应命中框心且球入框的条件。(8)将d=24.6cm,D=45.0cm代入得33.1度。前面计算结果中不满足这个条件的,当然应该去掉。Ddsin•3、问题3)的分析与模型的建立:球入框时,球心可以偏离框心,偏前(图Q1)的最大距离为图中的,可以从入射角算出.根据和球心轨迹中xAB与的关系,能够得到D出手角度允许的最大偏差.出手速度v允许的最大偏差可以类似的处理.xxxxv由图看出,球入筐时球心可以偏前(偏后与偏前一样)的最大距离为(9)为了得到出手角度允许的最大偏差,可以在(3)式中以代替重新计算,但是由于中包含,从而也包含所以这种方法不能解析的求出.sin22dDxxLLx如果从(2)式出发并将y=H-h代入,可得(10)对求导并令x=L,就有(11)0tan2cos222hHxgvxcossin)tan(22vvddxgLgLLLx用近似代替左边的导数,即可得到出手角度的偏差与的如下关系(12)由和已经得到的也容易计算相对偏差.xxxgLLgLvv)tan(cossin22类似的,(10)式对v求导并令x=L,可得到出手速度允许的最大偏差(13)由(12),(13)式v的相对偏差为(14)xvgLgLvv22cossintan2gLvvv模型的求解及结果分析问题1)、2)的结果与分析:1.对不同出手高度的最小出手速度和对应的出手角度使(5)式等号成立的v为最小出手速度,在这个速度下由(3)式可得相应的出手角度为(15)取出手高度h=1.8~2.1(m),计算结果见下表minv0gLv20tan对不同出手高度的最小出手速度和相应的出手角度H(m)Vmin(m/s)(度)1.87.678952.60121.97.598552.01812.07.518651.42902.17.439250.8344由此得出,对应与最小出手速度是最小出手角度,他们均随着出手高度的增加而略有减小;出手速度一般不要小于8米/秒.2.对不同的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度对出手速度v=8.0~9.0(m/s)和出手高度1.8~2.1(m),由(3)式计算出手角度、,由(7)式计算入射角度、,结果见下表2.1122对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度(vm/s)(hm)8.01.81.92.02.162.409963.117463.728164.267042.792540.918839.130037.401953.876355.820657.494158.961520.921320.143119.647819.36988.51.81.92.02.167.697568.028868.336768.624437.504936.007534.521433.044462.172663.188464.117964.972912.625012.775313.024013.35839.01.81.92.02.171.069771.274971.470071.656134.132732.761431.388130.012767.142667.797468.409868.98407.65508.16638.73219.34721221根据前面计算,应大于33.1度才能保证球入框,这里的均小于33.1度,不满足(8)式的条件,所以在考虑篮球和篮框大小的实际情况下,出手角度只能是.可以发现,速度一定时,出手高度越大,出手角度应越大,但是随着速度的增加,高度对出手角度的影响变小,这种影响在1度左右;出手高度一定时,速度越大,出手角度也应越大,速度的影响在7~9度.。21模型3)的结果与分析:分析出手角度和出手速度的最大偏差。利用(12)式和上面的,计算出手角度最大偏差和,再利用(13)、(14)式计算出手速度的最大偏差和,只将h=1.8,2.0(m)的结果列入下表中。1vvv出手角度和出手速度最大偏差h(m)a(度)V(m/s)1.862.409967.697571.06978.08.59.0-0.7562-0.5603-0.45700.05280.06940.08031.22610.82760.64310.65970.81670.89252.063.728168.336771.47008.08.59.0-0.7100-0.5411-0.44630.06010.07340.08321.11400.79180.62440.75110.86400.9243vvv总的看来,允许偏差都相当小.进一步分析可知,速度越大,角度的允许偏差越小,而速度的允许偏差越大,且对角度的要求比对速度的要求严格;出手速度一定时,高度越大,虽然也是角度的允许偏差越小,速度的允许偏差越大,但这时对角度和速度的要求都相对较低.模型的进一步讨论当考虑空气阻力的影响时,出手角度有什么变化。考虑水平方向的阻力时,应该用微分方程求解球心的运动轨迹,由于阻力很小,可作适当简化.然后与前面类似的作各种计算.假设只考虑水平方向的阻力,且阻力与速度成正比,设比例系数为k.这时水平方向的运动由微分方程(16)描述。cos)0(,0)0(,0vxxxkx其解为(17)因为阻力不大(不超过0.05每秒),时间t也很小(约1秒),所以将(17)式中的做泰勒展开后忽略二阶以上项得到(不考虑竖直方向的阻力,故y(t)仍与(1)式相同),得到kvtxekt1cos)(ekt(18)在不考虑篮球和篮筐大小时,球心命中筐心的条件由方程组(19)确定.••类似于模型1)、2)的求解,即可求出对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度,这里不加详细讨论。2sin)(2gttvty02coscos2Ltkvtv0)(2sin2hHgttv2coscos)(2tkvtvtx
本文标题:数学建模-投篮问题
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