相似三角形-动点问题-分类讨论问题(培优及答案)

11.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，B和C都为锐角，M为AB一动点（点M与点AB、不重合），过点M作MNBC∥，交AC于点N，在AMN△中，设MN的长为x，MN上的高为h．（1）请你用含x的代数式表示h．（2）将AMN△沿MN折叠，使AMN△落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为1A，1AMN△与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？【答案】解：（1）MNBC∥AMNABC△∽△68hx34xh（2）1AMNAMN△≌△1AMN△的边MN上的高为h，①当点1A落在四边形BCNM内或BC边上时，1AMNyS△=211332248MNhxxx··（04x≤）②当1A落在四边形BCNM外时，如下图(48)x，设1AEF△的边EF上的高为1h，则132662hhx11EFMNAEFAMN∥△∽△11AMNABCAEFABC△∽△△∽△1216AEFShS△△ABC168242ABCS△22363224122462EFxSxx1△A1122233912241224828AMNAEFySSxxxxx△△所291224(48)8yxxx综上所述：当04x≤时，238yx，取4x，6y最大当48x时，2912248yxx，取163x，8y最大86当163x时，y最大，8y最大MNCBEFAA122．如图，抛物线经过(40)(10)(02)ABC，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】解：（1）该抛物线过点(02)C，，可设该抛物线的解析式为22yaxbx．将(40)A，，(10)B，代入，得1642020abab.，解得1252ab.，此抛物线的解析式为215222yxx．（2）存在．如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为215222mm，当14m时，4AMm，215222PMmm．又90COAPMA°，①当21AMAOPMOC时，APMACO△∽△，即21542222mmm．解得1224mm，（舍去），(21)P，．②当12AMOCPMOA时，APMCAO△∽△，即2152(4)222mmm．解得14m，25m（均不合题意，舍去）当14m时，(21)P，．类似地可求出当4m时，(52)P，．当1m时，(314)P，．综上所述，符合条件的点P为(21)，或(52)，或(314)，．3．如图，已知直线128:33lyx与直线2:216lyx相交于点Cll12，、分别交x轴于AB、两点．矩形DEFG的顶点DE、分别在直线12ll、上，顶点FG、都在x轴上，且点G与点B重合．（1）求ABC△的面积；（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)tt≤≤秒，矩形DEFG与ABC△重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．3【答案】（1）解：由28033x，得4xA．点坐标为40，．由2160x，得8xB．点坐标为80，．∴8412AB．由2833216yxyx，．解得56xy，．∴C点的坐标为56，．∴111263622ABCCSABy△·．（2）解：∵点D在1l上且2888833DBDxxy，．∴D点坐标为88，．又∵点E在2l上且821684EDEEyyxx，．．∴E点坐标为48，．∴8448OEEF，．（3）解法一：①当03t≤时，如图1，矩形DEFG与ABC△重叠部分为五边形CHFGR（0t时，为四边形CHFG）．过C作CMAB于M，则RtRtRGBCMB△∽△．∴BGRGBMCM，即36tRG，∴2RGt．RtRtAFHAMC△∽△，∴11236288223ABCBRGAFHSSSStttt△△△．即241644333Stt．·························································································当83t时，如图2，为梯形面积，∵G（8－t,0）∴GR=32838)8(32tt,∴38038]32838)4(32[421ttts当128t时，如图3,为三角形面积，4883)12)(328(212tttts4．如图，矩形ABCD中，3AD厘米，ABa厘米（3a）．动点MN，同时从B点出发，分别沿BA，BC运动，速度是1厘米／秒．过M作直线垂直于AB，分别ADBEORFxyy1ly2lM（图3）GCADBEOCFxyy1ly2lG（图1）RMADBEOCFxyy1ly2lG（图2）RMADBEOCFxyy1ly2l（G）4交AN，CD于PQ，．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）若4a厘米，1t秒，则PM______厘米；（2）若5a厘米，求时间t，使PNBPAD△∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）34PM，（2）2t，使PNBPAD△∽△，相似比为3:2（3）PMABCBABAMPABC⊥，⊥，，AMPABC△∽△，PMAMBNAB即()PMattatPMtaa，，(1)3taQMa当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即()()22QPADDQMPBNBM()33(1)()22tattaatttaa化简得66ata，3t≤，636aa≤，则636aa≤，≤，（4）36a≤时梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CNPM()3tatta，把66ata代入，解之得23a，所以23a．所以，存在a，当23a时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．5．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？【答案】解：(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以DQCPNBMADQCPNBMA5BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ是等边三角形.(2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S△BPQ=21×BP×QE=21(6-t)×3t=－23t2+33t；(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos600=21×2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR～△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PRQR,即3326tt,所以t=56,所以当t=56时,△APR～△PRQ6．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．ABDE（第26题图1）FCOMNxy67图7-2ADOBC21MN图7-1ADBMN12图7-3ADOBC21MNO.7．在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．（1）如图15-1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO=OB．求证：AC=BD，AC⊥BD；（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求ACBD的值．【答案】解：（1）AO=BD，AO⊥BD；（2）证明：如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO=∠BEO．又∵AO=OB，∠AOC=∠BOE，∴△AOC≌△BOE．∴AC=BE．又∵∠1=45°，∴∠ACO=∠BEO=135°．∴∠DEB=45°．∵∠2=45°，∴BE=BD，∠EBD=90°．∴AC=BD．延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD=90°．∴AC⊥BD．（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO=∠ACO．又∵∠BOE=∠AOC，∴△BOE∽△AOC．∴AOBOACBE．又∵OB=kAO，由（2）的方法易得BE=BD．∴kACBD．10．如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。（1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；（3）在P、Q运动过程中，是否可能出现PQ⊥MN？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由；（4）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由；YNAQOPMX图4ADOBC21MNEFAOBC1D2图5MNE8考点五：相似三角形中的动点问题1．在矩形ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．2．（2011•乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的