高考函数大题.

21.（本小题满分13分）已知函数22()ln(1).1xfxxx(I)求函数()fx的单调区间;（Ⅱ）若不等式1(1)naen对任意的N*n都成立（其中e是自然对数的底数）.求a的最大值.解:（Ⅰ）函数()fx的定义域是(1,)，22222ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)(1)xxxxxxxfxxxx设2()2(1)ln(1)2,gxxxxx则()2ln(1)2.gxxx令()2ln(1)2,hxxx则22()2.11xhxxx当10x时，()0,hx()hx在（-1，0）上为增函数，当x＞0时，()0,hx()hx在(0,)上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以()0(0)gxx，函数g(x)在(1,)上为减函数.于是当10x时，()(0)0,gxg当x＞0时，()(0)0.gxg所以，当10x时，()0,fx()fx在（-1，0）上为增函数.当x＞0时，()0,fx()fx在(0,)上为减函数.故函数()fx的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为(0,).（Ⅱ）不等式1(1)naen等价于不等式1()ln(1)1.nan由111n知，1.1ln(1)ann设11(),0,1,ln(1)Gxxxx则（构造函数）22222211(1)ln(1)().(1)ln(1)(1)ln(1)xxxGxxxxxxx由（Ⅰ）知，22ln(1)0,1xxx即22(1)ln(1)0.xxx所以()0,Gx0,1,x于是G(x)在0,1上为减函数.故函数G（x）在0,1上的最小值为1(1)1.ln2G所以a的最大值为11.ln221．（本小题满分12分）已知函数1()ln(1)(1)nfxaxx，其中Nn，a为常数．（Ⅰ）当2n时，求函数()fx的极值；（Ⅱ）当1a时，证明：对任意的正整数n，当2x时，有()1fxx≤．解：21．（Ⅰ）解：由已知得函数()fx的定义域为|1xx，当2n时，21()ln(1)(1)fxaxx，所以232(1)()(1)axfxx．（分类讨论）（1）当0a时，由()0fx得1211xa，2211xa，此时123()()()(1)axxxxfxx．当1(1)xx，时，()0fx，()fx单调递减；当1()xx，时，()0fx，()fx单调递增．（2）当0a≤时，()0fx恒成立，所以()fx无极值．综上所述，2n时，当0a时，()fx在21xa处取得极小值，极小值为2211ln2afaa．当0a≤时，()fx无极值．（Ⅱ）证法一：因为1a，所以1()ln(1)(1)nfxxx．当n为偶数时，（分类讨论）令1()1ln(1)(1)ngxxxx，则1112()10(1)11(1)nnnxngxxxxx（2x≥）．所以当2x，时，()gx单调递增，又(2)0g，因此1()1ln(1)(2)0(1)ngxxxgx≥恒成立，所以()1fxx≤成立．当n为奇数时，要证()1fxx≤，由于10(1)nx，所以只需证ln(1)1xx≤，（常用的不等式）令()1ln(1)hxxx，则12()1011xhxxx≥（2x≥），所以当2x，时，()1ln(1)hxxx单调递增，又(2)10h，所以当2x≥时，恒有()0hx，即ln(1)1xx命题成立．综上所述，结论成立．证法二：当1a时，1()ln(1)(1)nfxxx．当2x≥时，对任意的正整数n，恒有11(1)nx≤，故只需证明1ln(1)1xx≤．（常用的不等式）令()1(1ln(1))2ln(1)hxxxxx，2x，，则12()111xhxxx，当2x≥时，()0hx≥，故()hx在2，上单调递增，因此当2x≥时，()(2)0hxh≥，即1ln(1)1xx≤成立．故当2x≥时，有1ln(1)1(1)nxxx≤．即()1fxx≤．20·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋（07湖北）（本小题满分13分）已知定义在正实数集上的函数21()22fxxax，2()3lngxaxb，其中0a·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋设两曲线()yfx，()ygx有公共点，且在该点处的切线相同·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋（I）用a表示b，并求b的最大值；（II）求证：()()fxgx≥（0x）·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋解：（Ⅰ）设()yfx与()(0)ygxx在公共点00()xy，处的切线相同·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋()2fxxa∵，23()agxx，由题意00()()fxgx，00()()fxgx·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋（方程的思想）即22000200123ln232xaxaxbaxax，，由20032axax得：0xa，或03xa（舍去）·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋（0a）令225()3ln(0)2httttt，则()2(13ln)httt·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋于是当(13ln)0tt，即130te时，()0ht；当(13ln)0tt，即13te时，()0ht·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋故()ht在130e，为增函数，在13e，∞为减函数，于是()ht在(0)，∞的最大值为123332hee·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋（Ⅱ）设221()()()23ln(0)2Fxfxgxxaxaxbx，（构造函数）则()Fx23()(3)2(0)axaxaxaxxx·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋故()Fx在(0)a，为减函数，在()a，∞为增函数，于是函数()Fx在(0)，∞上的最小值是000()()()()0FaFxfxgx·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师时，有()()0fxgx≥，即当0x时，()()fxgx≥·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋（本小题满分14分）已知函数()exfxkxxR，（Ⅰ）若ek，试确定函数()fx的单调区间；（Ⅱ）若0k，且对于任意xR，()0fx恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()Fxfxfx，求证：12(1)(2)()(e2)()nnFFFnnN·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师分·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋解：（Ⅰ）由ek得()eexfxx，所以()eexfx·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋由()0fx得1x，故()fx的单调递增区间是(1)，，由()0fx得1x，故()fx的单调递减区间是(1)，·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋（Ⅱ）由()()fxfx可知()fx是偶函数·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋于是()0fx对任意xR成立等价于()0fx对任意0x≥成立·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋由()e0xfxk得lnxk·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋（分类讨论）①当(01]k，时，()e10(0)xfxkkx≥·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋此时()fx在[0)，上单调递增·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋故()(0)10fxf≥，符合题意·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋②当(1)k，时，ln0k·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师变化时()()fxfx，的变化情况如下表：x(0ln)k，lnk(ln)k，()fx0()fx单调递减极小值单调递增由此可得，在[0)，上，()(ln)lnfxfkkkk≥·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师