概率论与数理统计练习题(附答案)

练习题1、设随机变量)6.0,10(b~X，则22[()][(X)]DXE；2、若随机变量X的分布未知，但2,EXDX,则X落在区间(2,2)内的概率必不小于_________3、设ˆˆ(,......)12XXXn是未知参数的一个估计量，满足条件_________则称ˆ是的无偏估计。4.设X,Y为随机变量，且D(X+Y)=7,D(X)=4,D(Y)=1，则相关系数XY=5.设随机变量12,,,nXXX相互独立，且(1,2,,)iXin都服从区间[0，1]上的均匀分布，则当n充分大时，niinnXY11近似服从（写出具体分布与参数）6．设(,)XY服从区域222:GxyR上的均匀分布，其概率密度为：222(,)0CxyRfxy其它，则C=（）；(A)2R；(B)21R；(C)R2；(D)R21。7．设,......12XXXn为相互独立的随机变量，且2(,())EXDXii（1,2......in），11nXXiin，则DX（）(A)2n(B)2n(C)n(D)22n8．设一次试验中事件A不发生的概率为p,独立重复n次试验，A发生了X次则正确的是：（）(A)21ppXE；(B)()EXnp；(C)(1)DXnpp；(D)2DXpp。9．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（）A．X与Y独立；B.()DXYDXDY；C．()DXYDXDY；D.()DXYDXDY.10.任何一个连续型随机变量的概率密度)(x一定满足()。A、1)(0xB、在定义域内单调不减C、1)(dxxD、1)(x11袋中有m个红球，n个白球，任取2球，求（1）取得两个同色球的概率；（2）至少取得一个白色球的概率12已知(,)XY的联合分布率为：求：（1）关于X的边缘分布律；（2）2ZXY的分布律及分布函数()ZFz13有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4。若他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为111,,4312，而乘飞机来不迟到，试求：（1）这位朋友迟到的概率；（2）如果他迟到了，求他乘火车的概率。14设A,B为随机事件,且21)(,31)(,41)(BAPABPAP,令;,,0,1不发生发生AAX.,,0,1不发生发生BBY求：(1)二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布表；(2)X和Y是否相互独立15设随机变量X的概率密度为0(,)0AxBxfxy其它且23EX求（1）A,B的值；（2）3()44PX；（3）sinZX的密度16设总体2~(,)XN(2未知)有假设检验::0010HH及样本,......12XXXn（1）请指出所用统计量及其分布；（2）指出并推导拒绝域（显123-10.20.1000.100.310.10.10.1XY著水平为）17某包装机包装物品重量服从正态分布)4,(2N。现在随机抽取16个包装袋，算得平均包装袋重为900x，样本均方差为22S，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有变化？（05.0）（488.2715262.6)15(2025.02975.0）（，）18已知（X，Y）的联合概率密度为：34120,0(,)0其它xyexyfxy，试求：（1）X，Y的边缘密度函数（2）X,Y是否相互独立（3）2Y0,1X0P19设,......12XXXn为来自于总体X的一个样本，X服从指数分布，概率密度为,x0f(x,)0,xe其他,求参数的矩法估计与最大似然估计。20设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布2(,)N，若,312ZXYZXY；求X和Y的函数12,ZZ的相关系数12zz。21从某种电子元件中随机抽取30只，测得平均寿命（单位h）2500Xh，样本标准差S＝700h，设该种电子元件的使用寿命服从正态分布2(,)N求2的置信度为95％的置信区间（上侧分位数(29)45.7,(29)16.00.0250.975）22证明设连续型随机变量X的概率密度函数)(xf是偶函数，其分布函数为)(xF。证明对任意实数x，有1)()(xFxF。练习题1、设随机变量)6.0,10(b~X，则22[()][(X)]DXE0.16；2、若随机变量X的分布未知，但2,EXDX,则X落在区间(2,2)内的概率必不小于___3/4______（切比雪夫不等式）3、设ˆˆ(,......)12XXXn是未知参数的一个估计量，满足条件____ˆ()E_____，则称ˆ是的无偏估计。4.设X,Y为随机变量，且D(X+Y)=7,D(X)=4,D(Y)=1，则相关系数XY=0.55.设随机变量12,,,nXXX相互独立，且(1,2,,)iXin都服从区间[0，1]上的均匀分布，则当n充分大时，niinnXY11近似服从11(,)212Nn（写出具体分布与参数）（中心极限定理）6．设(,)XY服从区域222:GxyR上的均匀分布，其概率密度为：222(,)0CxyRfxy其它，则C=（B）；(A)2R；(B)21R；(C)R2；(D)R21。7．设,......12XXXn为相互独立的随机变量，且2(,())EXDXii（1,2......in），11nXXiin，则DX（A）(A)2n(B)2n(C)n(D)22n8．设一次试验中事件A不发生的概率为p,独立重复n次试验，A发生了X次。则正确的是：（C）（注：~b(n,1p)X）(A)21ppXE；(B)()EXnp；(C)(1)DXnpp；(D)2DXpp。9．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（B）A．X与Y独立；B.()DXYDXDY；C．()DXYDXDY；D.()DXYDXDY.10.任何一个连续型随机变量的概率密度)(x一定满足(C)。A、1)(0xB、在定义域内单调不减C、1)(dxxD、1)(x11袋中有m个红球，n个白球，任取2球，求（1）取得两个同色球的概率；（2）至少取得一个白色球的概率解：（1）2nm2n2nm2mCCCC（2）1—2nm2mCC12已知(,)XY的联合分布率为：求：（1）关于X的边缘分布律；（2）2ZXY的分布律及分布函数()ZFz解：（1）X123P0.40.20.4(2)Z-9-4-10149P00.10.20.40.10.10.19x19x40.94x10.81x00.70x1-0.3-1x4-0.1-4x0)Z(FZ123-10.20.1000.100.310.10.10.1XY13有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4。若他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为111,,4312，而乘飞机来不迟到，试求：（1）这位朋友迟到的概率；（2）如果他迟到了，求他乘火车的概率。解：令1A表示“朋友乘火车来”，2A表示“朋友乘轮船来”，3A表示“朋友乘汽车来”，4A表示“朋友乘飞机来”；B表示“朋友迟到”。则（1）2031.01212.0313.04141kkkAPABPBP（2）212033.041111BPAPABPBAP14设A,B为随机事件,且21)(,31)(,41)(BAPABPAP,令;,,0,1不发生发生AAX.,,0,1不发生发生BBY求：(1)二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布表；(2)X和Y是否相互独立解：（1）由于121)()()(ABPAPABP，,61)()()(BAPABPBP所以121)(}1,1{ABPYXP，61)()()(}0,1{ABPAPBAPYXP，,121)()()(}1,0{ABPBPBAPYXP)(1)(}0,0{BAPBAPYXP32)()()(1ABPBPAP（或32121611211}0,0{YXP）故(X,Y)的联合概率分布为YX10112161012132(2)X,Y的概率分布分别为X01Y01p4341p6561由于P（X=1）P（Y=1）=111=4624，P（X=1，Y=1）=112P（X=1）P（Y=1）P（X=1，Y=1）故X与Y不相互独立15设随机变量X的概率密度为0(,)0AxBxfxy其它且23EX求（1）A,B的值；（2）3()44PX；（3）sinZX的密度解：（1）0032xdx)BAx(1dx)BAx(解得：0B2A2（2）21xdx2)43X4(P342（3）其他01z0z12)z(f2z（分布函数法！）16设总体2~(,)XN(2未知)有假设检验::0010HH及样本,......12XXXn（1）请指出所用统计量及其分布；（2）指出并推导拒绝域（显著水平为）解：（1）0~(1)XttnSn其中12()11nSXXiin（2）若0H成立~(1)ttn则((1))1Pttn（注意：此处拒绝域形式应该与备择假设形式一致！）从而拒绝域为{(1)}{(1)}1ttnttn17某包装机包装物品重量服从正态分布)4,(2N。现在随机抽取16个包装袋，算得平均包装袋重为900x，样本均方差为22S，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有变化？（05.0）（488.2715262.6)15(2025.02975.0）（，）解：0H：22024，1H：202由于2222(1)=～(1)nSn，拒绝域为2222220.9750.025W={(15)或(15)}={6.262或27.488}，16n，22S，224代入得2152=1.87516由于262.6)15(875.12975.0所以拒绝0H，即认为其方差有变化。18已知（X，Y）的联合概率密度为：34120,0(,)0其它xyexyfxy，试求：（1）X，Y的边缘密度函数（2）X,Y是否相互独立（3）2Y0,1X0P解：（1）dyyxfxfX),()(0,00,3-412其它xyedyy,00,33其它xexdxyxfyfY),()(0,00,3-412其它xyedyy44,00,其他yey（2）因为yxfyfxfYX,，所以X与Y相互独立.(3)213-438000X1,0Y2=12=（1-)(1-)xyPedxdyee19设,......12XXXn为来自于总体X的一个样本，X服从指数分布，概率密度为,x0f(x,)0,xe其他,求参数的矩法估计与最大似然估计。解：（1）1.1求出总体X的期望为01(X)xExedx1.2令__(X)EX得，__1X解得__1X1.3所以的矩法估计为__1X（2）2.1写出似然函数11212(x,x,x,)(x,)(x,)(x,),0,niinnxniLfffex2.2求最大值先取对数：121ln(x,x,x,)ln,0,nniiiLnxx再由121