高等代数教案(北大版)第二章行列式

第二章行列式行列式是高等代数中的一个基本概念，它产生于解线性方程组的过程中，中学数学中已经引入二级和三级行列式的概念，并用于求解二元和三元的线性方程组，对于一般的n元线性方程组的解，我们可以用n级行列式来表示。事实上，它不仅是研究线性方程组的基本工具，也是讨论向量、矩阵和二次型的重要工具之一。而且在科技领域中得到广泛的应用。教学目的：通过深刻理解行列式的定义，牢固掌握行列式的性质达到正确、熟练计算行列式的目的。教学重点：n级行列式的基本概念与运算。教学难点：n级行列式的定义、展开定理和性质的证明。教学方法与手段：1.理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。2．习题课以多媒体教学为主。教学内容§1引言1．用消元法解二元线性方程组11112212112222(1)(2)axaxbaxaxb+=⎧⎨+=⎩(1)×a22:1122112222122,aaxaaxba+=(2)×a12:1221112222212,aaxaaxba+=两式相减得：112212211122122;aaaaxbaab−=−（）112212212112121,aaaaxabba−=−（）当≠0时，解为：11221221aaaa−122122211211121122122111221221,.baabbaabxxaaaaaaaa−−==−−定义：1112112212212122aaaaaaDaa=−=，记1121221221222,babaabDba−==1111121212212,ababbaDab−==则解的形式可表示为：x1=D1D,x1=D2D。2．在三元一次线形方程组求解时有类似结果111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb++=⎧⎪++=⎨++=⎪⎩当≠0时，112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa++−−−定义：111213212223112233122331132132313233132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD=++−−−=类似记112131111311121222231212232212223313233323331333,,baaabaaabbaaDabaDaabDaabbaaaba==,=则解的形式可表示为：x1=D1D,x2=D2D，x3=D3D。问题：对于多元一次线性方程组的解是否有类似的结论呢？分析二级、三级行列式的结构：1．项的组成。2．项的符号。§2排列一．排列定义：由1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列注：所有不同n级排列的总数是!12(1)nnnnP=⋅⋅−=如所有的3级排列是123，132，213，231，312，321．——共6=3！个。二、逆序逆序数我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为自然顺序。在一个排列中，如果一对数的前后位置，与自然顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．注：1)排列123…n称为自然排列，其逆序数为0;2)排列j1j2…jn的逆序数常记为τ(j1j2…jn);3)τ(j1j2…jn)=j1后面比j1小的数的个数+j2后面比j2小的数的个数+…+jn-1后面比jn-1小的数的个数。或者=j2前面比j2大的数的个数＋j3前面比j3大的数的个数＋…+jn前面比jn大的数的个数例1排列31542中，逆序有那些？例2求n级排列135…(2n−1)(2n)(2n−2)…42的逆序数。三、奇排列、偶排列定义：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列；注：自然排列123…n为偶排列．练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性．1)n(n−1)…3212)(2n)1(2n−1)2(2n−2)3…。(n+1)nkey:1)τ(n(n−1)…321)=(12nn)−;2)τ((2n)1(2n−1)2(2n−2)3…。(n+1)n)=n2四、对换定义：把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理1对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列．证明1)特殊情形：作相邻对换设排列为11lmaaabbbab⎯⎯⎯⎯→对换与11lmaababb除a,b外，其它元素所成逆序不改变，当ab时，经对换后a的逆序增加1个,b所成逆序不变；当ab时，经对换后b的逆序减少1个,a所成逆序不变因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性。2)一般情形设排列为，对换a与b，lmaaabbbcc111naaabbbc111lmncm⎯⎯⎯⎯→次相邻lmaaabbbcc111nm⎯⎯⎯⎯→＋1次相邻lmaabbbacc111naaabbbc111所以lmncm⎯⎯⎯⎯⎯→2＋1次相邻lmaabbbacc111n所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。推论所有n级排列中，奇、偶排列各半，均为2n！个证明设在全部n级排列中，有s个奇排列，t个偶排列，下证．将s个奇排列的前两个数对换，则这s个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，从而s≤t；同理，将t个偶排列的前两个数对换，则这t个偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，从而t≤s。故t=s=2n！。定理2任意一个排列与标准排列123…n都可经过一系列对换互换，并且所作对换的次数与这个排列的奇偶性相同．思考题如果排列x1x2…xn的逆序数为k，则排列xnxn-1…x1的逆序数为。§3n级行列式一、行列式的定义1.二级行列式1112112212212122aaaaaaaa=−2．三级行列式111213212223112233122331132132313233132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa=++−−−3.n级行列式n级行列式111212122212nnnnnnaaaaaaaaa等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积1212njjaaanj（1）的代数和，这里j1j2…jn为123…n的排列。每一项（1）都按下列规则带有符号：当j1j2…jn为奇排列时（1）带负号；当j1j2…jn为偶排列时（1）带正号。即：112121112121222()1212(1)nnnnnjjjjnjjjjnnnnaaaaaaaaaaaaτ=−∑这里12njjj∑表示对所有1、2、…、n的n级排列求和．注：1)行列式111212122212nnnnnnaaaaaaaaa，常简记为det(aij)或|aij|;2)111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa=中的数aij称为行列式D处于第i行第j列的元素，i称为行指标，j称为列指标。3)n级行列式定义展开式中共有n！项．例1计算行列式12321,243321−−13例2计算行列式1000020000300004,123456一般地,1212nndddddd=(对角形行列式)1(1)2212(1)nnnndddddd−=−类似可得：111212221122000nnnnnnaaaaaaaaa=(上三角形行列式)112122112212000nnnnnnaaaaaaaaa=(下三角形行列式)例3已知11211()3211121xxfxxx1−=，求x3的系数。解：由n级行列式定义，f(x)是一个的多项式函数，且最高次幂为x3,显然含x3的项有两项:(1234)(1243)1122334411223443(1)(1)aaaaaaaaττ−−与即x3与－2x3所以f(x)中x3的系数为－1。练习：计算行列式(1)(2)12011002201)2)1100key1)(1)!,2)(1)!nnnnnnnnn−−−−−−−，：二、n级行列式的等价定义12121211121()212221212(1)nnnniiiniiiniiinnnnaaaaaaDaaaaτ==−∑aa这里表示对所有1,2,…,n的n级排列求和12niii∑证明：按行列式定义有11212()12(1)nnnjjjjnjjjjDaaaτ=−∑记()1121()111nnniiiiiniiDaaτ=−∑2a对于D中任意一项112()12(1)nnjjjjnaaaτ−j总有且仅有D1中的某一项()与之对应并相等;112()121nniiiiinaaaτ−反之，对于D1中的任意一项某一项,总有且仅有D中的某一项()112()121nniiiiinaaaτ−112()12(1)nnjjjjaaaτ−nj与之对应并相等;于是D与D1中的项可以一一对应并相等,从而D=D1。类似地，有1212112211121()()2122212(1)nnnnniiijjjnijijijnnnnaaaaaaDaaaaττ+==−∑aa§4行列式性质转置行列式设111212122212,nnnnnnaaaaaaDaaa=称112111222212nnnnnnaaaaaaaaa为D的转置行列式，记为DT或D′。性质1行列互换，行列式不变，即111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa=。证明212211121(...)2122212...12(1)...nnnnjjnjjnjjjnnnnaaaaaaaaaaaaτ−∑11jj=2122(...)(12...)12...(1)...nnnjjnjjnjjjaaaττ+=−∑11jj2122(...)(12...)12...112111222212(1)...nnnjjnjjjnjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaττ+=−=∑11jj性质2把行列式某一行元素皆乘以k，则行列式值是原值k倍。即nnnniniinaaakakakaaaa212111211=nnnniniinaaaaaaaaak212111211推论如果行列式某一行元素全为零，则行列式值为零。性质3nnnnnnnnnnnmnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa211121112112121121121221111211+=+++性质4对换行列式中两行的位置，行列式反号。证设行列式D=11112121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa交换i,j两行后的行列式为D1=11112121212njjjniiinnnnnaaaaaaaaaaaa。设是D的任意一项，则其所有元素分别位于D的不同行和不同列，于是其也是D1212...nkknkaaa1的一项；同理D1的任意一项也是D的一项，因此D和D1具有相同的项。接下来讨论在D和D1212...nkknkaaa1的符号，其在D的符号为和在D1(.........)(1)ijnkkkkτ−1的符号为=−。于是D=−D1(.........)(1.........)(1)ijnkkkkjinττ+−1(.........)(1)ijnkkkkτ−1。性质5若行列式中两行（列）相同，则行列式为零。利用性质4，可得D=−D1，又因为D=D1，所以D=0。性质6若行列式中两行成比例，那么行列式为零。性质5的直接结果性质7把一行的倍数加到另一行，行列式不变。例1计算行列式3112513420111533D−−−=−−−。说明：计算行列式时可多次利用行列式的性质把它化为上三角形或下三角形，从而算得行列式的值．例2计算行列式abbbbbabbbbad=例3若n级行列式Dn=|aij|满足aij=aji，i,j=1,2,…,n,证明：当n为奇数时，Dn=0。练习：计算行列式12341111234111111),2).3412111111114123xxyy+−+−例4计算行列式2464273271014543443342721621−。§5行列式的计算一、矩阵定义由sn个数排成s行n列的表,称为一个s×n矩