7不可压缩流体动力学基础解析

第五章不可压缩流体动力学基础当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定律。流体的这种性质称为连续性，用数学形式表达出来的就是连续性方程。首先推导在笛卡儿坐标系中微分形式的连续性方程。如图7－1微元六面体5.1连续性微分方程设该微元六面体中心点O（x,y,z）上流体质点的速度密度为，于是和轴垂直的两个平面上的质量流量如图所示。xvyvzv在方向上，时间通过EFGH面流入的流体质量为：x（a）2xxdxvvdydzdtx时间通过ABCD面流出的流体质量：（b）2xxdxvvdydzdtx在时间内，自垂直于x轴的两个面流出、流入的流体质量差为：xxmvdxdydzdtx（c1）xdtdtdt同理可得和方向时间内，流出、流入的流体质量差为:yzyymvdxdydzdtyzzmvdxdydzdtz（c2）（c3）因此，时间内，流出、流入整个六面体的流体质量差为xyzxyzmmmvvvdxdydzdtxyz（c）微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化为：tmdxdydzdtt（d）dtdt由质量守恒条件：0tvzvyvxzyx()0vt或它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流动。在定常流动中，由于0t0zyxvzvyvx对于不可压缩流体（=常数）0zvyvxvzyx0v或0xyztmmmm在其它正交坐标系中流场中任一点的连续性方程和柱坐标系中的表示式为：0)()(1)(1zrvzvrvrrrt对于不可压缩流体01rvzvvrrvrzr式中为极径；为极角。r球坐标系中的表示式为:)sin(sin1)(122vrrrvrtr0)(sin1vr0cot2sin11rvrvvrvrrvrr式中为径矩；为纬度；为径度。r【例】已知不可压缩流体运动速度在，两个轴方向的分量为，。且在处，有。试求轴方向的速度分量。【解】对不可压缩流体连续性方程为：0zvyvxvzyx将已知条件代入上式，有044zvyxzyxzvz44),()(4yxfzyxvz又由已知条件对任何，，当时，。故有0),(yxfzyxvz)(4vxyyxvx22zyvy220z0zvzzvxy0z0zv7.2流体微团的运动分析流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此，流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而且还会发生变形运动。一般情况下，流体微团的运动可以分解为移动，转动和变形运动。图7-2流体微团运动速度分量222zzvyyvxxvvxxxx222zzvyyvxxvvxxxx222zzvyyvxxvvxxxx222zzvyyvxxvvxxxx222zzvyyvxxvvxxxx222zzvyyvxxvvxxxx222zzvyyvxxvvxxxx222zzvyyvxxvvxxxx如图7-2所示，在流场中任取一平行六面体的流体微团，以该流体微团的运动速度为讨论对象。已知t瞬时中心点O（x,y,z）的速度kvjvivvzyx。在该流体微团的八个顶点(x方向)的分速度，可以利用泰勒级数展开式，并略去高于一阶的无穷小量，如图。为了简化讨论，首先分析流体微团的平面运动。如图7-3，t瞬时矩形ABCD所示（x-y平面），由于流体微团各点的速度不同，在δt时间间隔中，经过平动、转动和变形运动，微团的位置和形状都发生了变化。具体分析如下：图7-3流体微团的平面运动速度分量22yyvxxvvxxx22yyvxxvvxxx22yyvxxvvxxx22yyvxxvvxxx22yyvxxvvyyy22yyvxxvvyyy22yyvxxvvyyy22yyvxxvvyyyδxDAδyyBCx（1）平移运动：所有偏倒数为0，如图7-4（a）所示，矩形ABCD各角点具有相同的速度。导致矩形ABCD平移△x=△t,△y=△t,其ABCD的形状不变。（2）线变形运动：如图7-4（b）所示，线变形运动取决于速度分量在它所在方向上的变化率（即线变形速率和），导致矩形ABCD的变形量：yxvv,xvyvxvxyvyy图7-4流体微团的平面运动txxvxx22tyyvyy22（3）角变形运动和旋转运动：如图7-4（c）、（d）所示，当txvxtxxvyy)2(2tantyvytyyvxx)2(2tanxvyvyx当矩形ABCD只发生角变形运动，如图7-4（c）所示。xvyvyx当矩形ABCD只发生旋转运动，形状不变。在一般情况下xvyvyx的同时，还会发生角变形运动。这两种运动由和所决定。亦就是矩形ABCD在发生旋转运动图7-4流体微团的平面运动于是沿z轴流体微团的旋转角速度分量：1122yxzvvttxy同理，沿x，y轴流体微团的旋转角速度分量分别为:zvyvyzx21xvzvzxy21流体微团的旋转角速度定义为:Vkjizyx21其中，流体微团的旋转角速度分量及模量为：yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121222zyx流体微团沿z轴的角变形速度分量：1122yxzvvttxy同理，可有流体微团角变形速度分量及其模量为：yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121222zyx前面在流体微团的分析中，已给出O点的速度，与点O相距微小矢径的点A()的速度为:zzyyxx,,zzvyyvxxvvvzzvyyvxxvvvzzvyyvxxvvvzzzzAzyyyyAyxxxxAx如果在式（7-10）的第一式右端加入两组等于零的项：yxvyxvyy2121zxvzxvzz2121其值不变。经过简单组合，可将该式写成：zxvzvyyvxvzxvzvyyvxvxxvvvzxxyzxxyxxAx)(21)(21)(21)(21同理，有：yzvyvxxvzvyzvyvxxvzvzzvvvxyvxvzzvyvxyvxvzzvyvyyvvvyzzxyzzxzzAzxyyzxyyzyyAy)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21和将式（7-8），（7-9）代入以上三式，便可将式（7-10）写成：)()()()()()(xyyxzzvvvzxxzyyvvvyzzyxxvvvyxxyzzAzxzzxyyAyzyyzxxAx上式表明：各速度分量的第一项是平移速度分量，第二、三、四项分别是由线变形运动、角变形运动和旋转运动所引起的线速度分量。此关系也称为海姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理，该定理可简述为：在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分：分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形）在A点引起的速度（变形运动）。7.3有旋流动和无旋流动根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：有旋流动和无旋流动。数学条件：当021V021V当无旋流动有旋流动通常以是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋的判别条件。V在笛卡儿坐标系中：kyvxvjxvzvizvyvVxyzxyz即当流场速度同时满足：zvyvyzxvzvzxyvxvxy时流动无旋。需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。如图7-5（a），流体微团的运动为旋转的圆周运动，其微团自身不旋转，流场为无旋流动；图7-5（b）流体微团的运动尽管为直线运动，但流体微团在运动过程中自身在旋转，所以，该流动为有旋流动。（a）（b）图7-5流体微团运动轨迹【例】某一流动速度场为，，其中是不为零的常数，流线是平行于轴的直线。试判别该流动是有旋流动还是无旋流动。【解】由于021zvyvyzx02121ayvxvxyz所以该流动是有旋运动。ayvx0zyvvax021xvzvzxy7.4理想流体的旋涡运动一、涡线、涡管、涡束和旋涡强度涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：V2涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：zvyvyzxxvzvzxyyvxvxyz在流场的全部或部分存在角速度的场，称为涡量场。如同在速度场中引入了流线、流管、流束和流量一样。在涡量场中同样也引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念。1．涡线:涡线是在给定瞬时和涡量矢量相切的曲线。如图7-7所示。图7-7涡线图7-8涡管根据涡通矢量与涡线相切的条件，涡线的微分方程为:),,,(),,,(),,,(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx2．涡管、涡束：在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，在同一时刻过该曲线每一点的涡线形成的管状曲面称作涡管。如图7-8所示。截面无限小的涡管称为微元涡管。涡管中充满着的作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管中的涡束称为微元涡束或涡丝。3．旋涡强度（涡通量）在涡量场中取一微元面积dA，见图,其上流体微团的涡量为，为dA的外法线方向，定义2ndAdAnAddJn2)cos(2为任意微元面积dA上的旋涡强度，也称涡通量。任意面积A上的旋涡强度为：dAdAJnAA2二、速度环量、斯托克斯定理1．速度环量:在流场的某封闭周线上，如图7-9（b），流体速度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号表示，即:)(dzvdyvdxvldvzyx速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算。图7-9微元有向线段2．斯托克斯（Stokes）定