不可压缩流体动力学基础

第七章不可压缩流体动力学基础本章将讲述流体的三元流动，讲解有关流体运动的基本概念和基本原理，以及描述不可压缩流体流动的基本方程和定解条件。§7.1流体微团运动的分析§7.2有旋流动§7.3不可压缩流体连续性微分方程§7.4以应力表示的黏性流体运动微分方程式§7.5应力和变形速度的关系§7.6纳维－斯托克斯方程§7.7理想流体运动微分方程及其积分§7.8流体流动的初始条件和边界条件§7.1流体微团运动的分析一.流体微团的概念在连续性介质模型中，流体质点是宏观上充分小，可视为只有质量而无体积的“点”，流体微团则是由大量流体质点所组成的具有一定体积的微小流体团。二.流体微团运动分析现以二元流动情形为例进行分析。假设流体在平面运动。于时刻t，在流场中任意选取一个方形平面流体微团ABCD，轴向边长分别为dx、dy，设顶点A坐标为（x,y），流速分量为u,v。利用泰勒级数展开且仅保留一阶小量，可得微团各顶点的速度分量，正四边形微团在经历了时间后将变成斜平行四边形1.正四边形微团ABCD在经历了时间后将变成斜平行四边形A’B’C’D’(略，请参考书中证明过程）。2.微团运动过程分解dt1)平移：正四边形流体微团作为一个整体平移到新的位置。由表1可见流体微团上各点均含与A点相同的速度，微团将以公有速度在时间内平移一个微元距离。参见图a。2)转动：正四边形象刚体一样旋转。参见图b。3)角变形：过A点的两条正交流体线之间的角度变化，与此相应的是正四边形形状的变化。参见图c。4)线变形：过A点的两条正交流体线伸长或压缩，与此相应的是面积增大或缩小。参见图d。综上可见，平移运动只改变四边形的位置而不改变其形状、大小和方向。而后三种运动形式会使四边形的形状、大小或方向发生变化。dtdt三.旋转角速度将过A点的任意两条正交微元流体线在xy平面运动的旋转角速度的平均值定义为A点流体旋转角速度在垂直该平面方向的分量，用表示。AB线的旋转角速度为而故Z00limlimABttxttxtx0limABttxxxtx同理可得AD线旋转角速度为所以推广到三维空间即可得到x和y方向的旋转角速度分量和ADuy1122zABADuxyxy12xwyz;12yuwzx从而得整个流体微团的旋转角速度为根据是否为零，流体力学将流动划分为有旋流动和无旋流动。如果在流场中的每一点处，流体微团的旋转角速度均为零，即则称这样的流场处处无旋，相应的流动为无旋流动。反之为有旋流动。kjizyxkyuxjxwzuizyw2121210xyz四.角变形速率流体微团的任意相互垂直的两条线段之间的夹角随时间的变化速度称为直角变形速率。三维空间可得到三个正交方向的角变形速率分量为121212xyyxyzzyxzzxuyxwzyuwzx五.线变形速度一般将单位时间单位长度流体线的伸长量定义为线变形速度。不难证明，流体微团沿三个正交方向的线变形速度分别为、和。微团各边长度的变化将导致其体积的变化。可以证明，沿三个正交方向的线变形速度的代数和（）即为流体微团的体积膨胀速率。对于不可压缩流体这表明不可压缩流体的其体积膨胀速率等于零。xuyzwuwxyz0uwxyz流体微团基本运动形式有平移运动、旋转运动和变形运动，而变形运动又包括线变形和角变形两种。某点速度可表示为dxdzdydxdzuxuyxyzyyzxyy0dydxdzdydxuxuzyzxzzxyzz0dzdydxdzdyuxuxzxyxxyzxx0其中，流体微团的线变形速度为旋转角速度分量为)(21zuyuyzx)(21xuzuzxy)(21yuxuxyzxuxxxyuyyyzuzzz角变形速度分量为yuxuxyyxxy21xuzuzxzxxz21zuyuyzzyyz21§7.2有旋运动流体质点的旋转角速度的运动称为有旋运动。0一涡线、涡管和涡束1.涡线定义:某一瞬时有旋场中的一条曲线，曲线上任意一点的切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度为取过该点涡线上的微元矢量为根据定义，这两个矢量方向一致，矢量积为0，即得到(1)这就是涡线的微分方程。kjizyxkdzjdyidxsd0sdzyxdzdydx2.涡管定义:某一瞬时，在漩涡场中任取一封闭曲线c(不是涡线)，通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成封闭的管形曲面。如果曲线c构成的是微小截面，那么该涡管称为微元涡管。横断涡管并与其中所有涡线垂直的断面称为涡管断面，在微小断面上，各点的旋转角速度相同。3.涡束涡管内充满着作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管中的涡束称为微元涡束。二涡通量和速度环量1.涡通量定义:在微元涡管中，二倍角速度与涡管断面面积dA的乘积称为微元涡管的涡通量(旋涡强度)dJ(2)对任一微元面积dA而言，有对有限面积，则通过这一面积的涡通量应为(3)dAdJ2dAAddJn22AndAJ22.速度环量定义:某一瞬时在流场中取任意闭曲线，在线上取一微元线段，速度在切线上的分量沿闭曲线的线积分，即为沿该闭合曲线的速度环量。(4)表示速度矢量与该点切线方向的夹角。将(4)写成标量积的形式，为(5)速度环量是标量，有正负号，规定沿曲线逆时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针绕行的方向为负方向。速度环量是旋涡强度的量度，通常用来描述漩涡场。lldldvlllldlvldvcosllzyxldzvdyvdxvldv)(§7.3不可压缩流体连续性微分方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表达式。一、三维流动连续性方程假定流体连续地充满整个流场，从中任取出以点为中心的微小六面体空间作为控制体如右图。控制体的边长为dx，dy，dz，分别平行于直角坐标轴x，zyxo，，y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为,液体密度为。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点M的质点在x方向的分速度为通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。所以单位时间内沿x轴方向流入控制体的质量为zyxuuu，，dxxuuxx21dxxuuxx21dydzdxxuuxx21流出控制体的质量为于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为同理可得在单位时间内沿y，z方向流出与流入控制体的质量差为和由连续介质假设，并根据质量守恒原理知：单位时间内流出与流入控制体的质量差的总和应等于六面体在单位时间内所减少的质量。所以dxdydzxudydzdxxuudydzdxxuuxxxxx2121dxdydztdxdydztdxdydzzuyuxuzyxdydzdxxuuxx21dxdydzyuydxdydzzuz整理得此式即为连续性微分方程的一般形式。适用于定常流及非定常流。对于定常流：，上式成为对于均质不可压缩流体，则不论定常流或非定常流均有对二维流动连续性微分方程为上面四个方程对于理想流体和实际流体均适用。0zuyuxutzyx0t0zuyuxuzyxc0zuyuxuzyx0yuxuyx二、一维不可压缩流体定常总流连续性方程如图，从总流中任取一段，进、出口断面的面积分别为A1、A2，在从总流中任取一个元流，其进、出口断面的面积和流速分别为dA1、v1；dA2、v2。根据质量守恒原理，单位时间内从dA1流进的流体质量等于从dA2流出的流体质量，即对于不可压缩均质流体，。上式变为总流是流场中所有元流的总和，所以由上式可写出总流连续性方程cdAvdAv222111c21cdqdAvdAv22112211AvAv§7.4以应力表示的黏性流体运动微分方程式粘性流体的法向应力和切向应力都必须同时考虑。在粘性流体表面上任取一点N，过N作微元面积ΔA，其外法线方向矢量为，切线方向为，N点的表面应力分为法向应力pn和切向应力τ，pn和τ随微元面积ΔA在空间的位置而变化。在直角坐标系中将pn和τ沿x，y，z三个坐标轴分解成9个应力分量，即。（注意：应力符号中的下标，下标第一个字母表示作用面的法线方向，第二个字母表示应力作用线的指向。）在这9个分量中，，，，因此只有6个独立分量。nzzxyzxyzyyyxxzxyxxpppyxxyzxxzzyyz在粘性流体的任意点A附近，取一棱边平行于坐标轴的平行六面体微团，其边长分别为dx、dy、dz，表面应力在y轴上分量如图。y轴上合力为：（1）流体微团质量与y轴加速度的乘积为（2）YdxdydzdxdydzzypxYdxdydzdxdydzzdxdydydzdxxdydzdxdzdyyppdxdzpzyyyxyzyzyzyxyxyxyyyyyyy)()()()(dtdvYdxdydzy对于x、z轴同理有（3）方程（3）就是以应力表示的粘性流体运动微分方程，通常X、Y、Z作为已知量，不可压缩流体已知，方程应包含六个应力及三个速度分量，共9个未知数。而方程（3）加上连续性方程也只有4个方程，无法求解，必须找出新的补充关系式。dtdvzypxYxzyyyxy)(1dtdvzpyxZdtdvzyxpXzzzyxxzxzxyxxx)(1)(1由牛顿第二定律（1）=（2），化简得§7.5应力和变形速度的关系由牛顿内摩擦定律知，切应力与速度梯度关系为（4）在层流中取正方形流体微元面积abcd，流层间存在相对速度，在运动中必然变形，经时间dt后变成a’b’c’d’，ab边线的转角为，，那么角变形速度为，牛顿内摩擦定律也可以写成dndvddndvdttgdddndvdtddtd流体微团绕z轴的剪切角速度为流体微团各表面上的切应力为（5）法向应力的大小与其作用面的方位有关，实际问题中，法向应力用平均值p作为某点的压力，可认为各个方向的法向应力等于这个平均值加上一个附加压应力，即，，xyyxxvyvd2）（xzzxzxxzyzzyzyyzxyyxyxxyxvzvyvzvxvyv2)(2)(2)()(31zzyyxxpppp'xxxxppp'yyyyppp'zzzzppp附加压应力用牛顿内摩擦定律推导得到:(6)方程（6）称为广义牛顿内摩擦定律