相似矩阵的判定及其应用

第1页共14页相似矩阵的判定及其应用摘要：相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵A是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.关键字：相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形1.相似矩阵及其判定这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。并通过一些具体的例子加以说明。下面我们首先介绍相关的概念和性质。定义1设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=1XAX，就说A相似于B，记BA~过渡矩阵矩阵等价特征矩阵行列式因子不变因子初等因子相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质：⑴反身性:AA~⑵对称性：如果BA~，那么AB~⑶传递性：如果BA~，CB~，那么CA~在此基础上，定理1.1线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。我们从下面的例1来看这个定理的应用。例1第2页共14页12312312311112ABAa1112133332312122232322213132331312112131aaaaaa设=aaa，aaa是数域P上的矩阵，证明A，B相似.aaaaaa证明：设数域P上的三维线性空间V的一个线性变换在V中的一组基，，下的矩阵为A，（，，）=（，，）aa即：3212331233321232113211132111,,aBABa12223213233333231332221231213332312322211312aaaaaaaaa于是aaaaa在基，下的矩阵aaaaaa,为同一线性变换在两组不同的基下的矩阵，aa由定理1AB可得：同一线性变换在两组不同的基下的矩阵相似，可得,相似.例2设3P的线性变换将基1=（-1，0，-2），2=（0，1，2）3=（1，2，5）变成（1）=（2，0，-1），（2）=（0，0，1），（3）=（0，1，2）求在基1，2，3下的矩阵，其中1=（-1，1，0），2=（1，0，1），3=（0，1，2）.解题步骤：（1）先求出在基1，2，3下的矩阵A；（2）求出由基1，2，3到1，2，3的过渡矩阵P；（3）求出在基1，2，3下的矩阵B=1PAP.解：我们从平常的解题中知道，我们通常取标准基1=（1，0，0），2=（0，1，0），3=（0，0，1）为中介，若令M200001112，N=101012225，T=110101012则（1，2，3）=（1，2，3）M（1，2，3）=（1，2，3）N第3页共14页（1，2，3）=（1，2，3）T，故在基1，2，3下的矩阵1ANM，并且由基1，2，3到基1，2，3的过渡矩阵1PNT，从而在基1，2，3下的矩阵1111221421211BPAPTNNMNT定理1.2设A，Ｂ为数域P上两个nn矩阵，它们的特征矩阵EA和EB等价则可得A与Ｂ相似.想保留证明过程，可以把它作为用定义1来判定矩阵相似的例子。证明：EA和EB等价就是有可逆的—矩阵()U和()V，使EA=()U（EB）()V.（1）则存在—矩阵()Q和()R以及数字矩阵0U和0V使()U=（EA）()Q+0U（2）()V=（EA）()R+0V（3）成立，把（1）改写成1()U（EA）=（EB）()V，式中的()V用（3）代入，再移项，得{1()U（EB）()R}（EA）=（EB）0V右端次数等于1或0V=O，因此1()U（EB）()R是一个数字矩阵（后一情形下是零矩阵），记作T，即T=1()U（EB）()RT（EA）=（EB）0V（4）现在我们来证明T是可逆的.（4）的第一式可得E=()UT+()U（EB）()R=()UT+（EA）1()V()R=0UT+（EA）{()QT+1()V()R}第4页共14页等式右端的第二项必须为零，否则它的次数至少为1，由于E和0UT都是数字矩阵，等式不可能成立.此0EUT这就是说，T是可逆的.由（4）的第二式可得EA=1T（EB）0V因为1T（EB）0V=1T0V1T0BV10TV=E1T0BV=A则可得A和B相似.定理1.3矩阵A和B相似①A和B有相同的各级行列式因子；②A和B有相同的不变因子；③A和B有相同的初等因子一般我们用定理1.3比用定理1.2多，我们从两个例子看：例2判断矩阵126103114A，320210111C是否相似？解：对A，C的特征矩阵EA，EC分别作初等变换可得：EA=12613114210001000(1)EC=320210111210001000(1)故A，C有相同的初等因子1，2(1)，所以A，C相似.例3A是数领P上一个n×n矩阵，证明A与'A相似.证明：设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211则'A=nnnnnnaaaaaaaaa212221212111因为')(AEAE，即矩阵A与'A的特征矩阵互为转置矩阵，因而对应的K级子式相等，所以AE与')(AE有相同的各级行列式因子，则A与'A相似.第5页共14页也可以证明AE与')(AE等价来说明A与'A相似。这个例子可以作为定理1.2的应用。3.相似矩阵与矩阵对角化矩阵相似与矩阵对角化之间的关系，矩阵对角化的好处是？特征值和特征向量的概念：定义2：设A是n阶方阵，如果存在数和非零列向量x，满足关系式xAx，则数称为A的特征值，非零列向量x称为A的对应的特征向量.易证：00AEA是的特征值，则定义3(特征值与特征多项式)：称AEf)(为n阶方阵A的特征多项式，它是的n次多项式.这样A的特征多项式的根为A的特征值.若n阶方阵A可与对角矩阵相似，则称A是可对角化的，简称A可对角化.设n阶矩阵A相似与对角矩阵B，相似变换为P：1PAPB，APPB记P的列向量为iP，B的对角元素为i，i=1，2，n，则上式为11,1,(,)(,)nnnApppp（1）比较上式两端各列，得iiiAppi=1，2，n，这就是说i为A的特征值，ip为A的对应于i的特征向量.因为P可逆，其列向量向量线性无关，所以可以得到结论：可以相似于对角矩阵的n阶矩阵有n个线性无关.反之，n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，设为1,,npp，对应的特征值分别为1，2，n，即iiiAppi=1，2，n.矩阵P以iP为列向量，B以i为对角线构成的对角矩阵，则A，ip，i满足（1），则APPB，因为iP线性无关，所以P可逆，这样可得1PAPB.所以又可得到结论：若n阶矩阵有n个线性无关，则相似与对角矩阵.由以上的讨论可得到如下的定理：定理2.1n阶矩阵相似于对角矩阵充分必要条件是此矩阵有n个线性无关的特征向量.推论1若一个矩阵的特征值互不相同，则此矩阵相似于对角矩阵.证明：n阶矩阵必有n个特征值，若它们互不相同，则它们对应的特征向量也线性无关，即此矩阵有n个线性无关的特征向量.，由定理2.1可得此矩阵相似于对角矩阵.证毕.第6页共14页注：若矩阵A与一对角矩阵相似，A的特征值未必互相相同.例1对于矩阵A=4100130361，我们判断其是否可对角化，若可对角化其特征值是否互不相同.解：特征多项式EA=4100130361=2(1)(2)的特征值1，1，-2对于其中=1，解方程（E-A）x=0，得到基础解系1210，2001对于其中=-2，解方程（-2E-A）x=0，得到基础解系3513故可得A有三个线性无关的特征向量1，2，3，由定理2.1可知A与对角矩阵相似，但A有两个相同的特征值1，其特征值并非互不相同.设n阶矩阵A有h个不同的特征值1，2，，h，它们的代数重数和几何重数分别为im，ik，i=1，2，h，A的特征多项式为EA=11()()hmmh，显然有12hmmmn.A有h个特征子空间，各个子空间的维数分别为1,,hkk，把各个子空间的基向量合在一起，得到一个1hkk个向量的向量组，称为A的特征向量系.A的每一个特征向量都可由A的特征向量系表示出来.用证明“不同特征值所对应的特征向量线性无关”的方法，对特征子空间的个数运用数学归纳法，可证明：不同特征值的特征子空间的基，合在一起所得的向量组是线性无关的.因此，A的特征向量系是线性无关的，而且是A的所有特征向量构成的集合中最大线性无关组.这样，A最多有1hkk个线性无关的特征向量.由于特征值的几何重数不大于代数重数，故1hkki12hmmmn，而且，只要有一个特征值的几何重数严格地小于代数重数，就有1hkk〈n，结合定理2.1，可得如下结论：定理2.2矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是其每一个特征值的几何重数都等于代数重数.由于矩阵特征值的代数重数和几何重数都至少为1，因此在运用定理2.2来判别一个矩第7页共14页阵是否相似于对角矩阵时，只要检查代数重数大于1的特征值的几何重数即可.用相似变换化对角矩阵的求法：设ijAa是一个n阶矩阵，1)计算A的特征多项式f=EA.2)求出f的全部的根，这就是A的全部的特征值（在求时要注意给定的数域）.3)对于每个特征值0，求出齐次线性方程组的0111122112110122111120()0()0()0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaax的一个基础解系，设其为1，2，，s，那么11k+22k+ssk（1k，2k，sk是指定数域中任意s个不全为零的数）就是A的属于特征值0的全部特征向量.这样我们求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量.4）若A有n个线性无关的特征向量12,,nppp它们对应特征值分别为12,,n设P=（12,,nppp），则1PAP=12nB这类问题关键在去特征值和特征向量，在此基础上写出相似变换矩阵P及对角矩阵B，它们分别由A的线性无关的特征向量和对应特征值构成.例2下列矩阵是否相似于对角矩阵：（1）A=1133；（2）A=200052062解：（1）EA=1211(2),0,233.A的