等差数列拔高训练题

等差数列拔高训练题1．已知等差数列}{na中，1,16497aaa，则12a的值为.提示：1512a.设数列}{na的首项为1a，公差为d，由条件得1116816,31adadad47,4171da，故12a154711417111da.2．数列na是以1为首项,2为公差的等差数列,若23kbak,则10b=_______.提示：1012b.由于12(2)21nann，那么2123kbkabk，从而2kbk，于是1012b.3．一个多边形的周长等于158cm，所有各边的长成等差数列,最大的边的长等于44cm,公差d是3cm,则多边形的边数为.提示：4n.由158)3(2)1(44nnn4n或379n，由于nN，得4n.4．设等差数列na的前n项和为nS,若1480,aSS,当nS取得最大值时的n的值为.提示：6n.由1480,aSS0d02241876548daaaaaSS，得0210210211761dadada，故当6n时，nS取得最大值.5．已知单调递增等差数列{na}前三项之和为21，前三项之积为241，求通项na.提示：可设等差数列前三项为,,,adaad于是可得21,()()241,adaadadaad即22321,()241,aaad故27,16ad，由于数列为单调递增数列，因此4d，从而41nan为所求.6.等差数列,122,116,110.（1）此数列在]600,400[之间有多少项？（2）在（1）中能被5整除的有多少项？提示：（1）由于通项公式nan6104，由318231496006104400nn，共有33项.（2）由8250n581549821550kk共有7项.7.以12,,,pSSS分别为p个等差数列的前n项和，且这些等差数列各以1,3,,(21)p为首项，以1,3,,(21)p为公差，求证：212(1)2pnnSSSp.提示：第k个等差数列的首项是21k、公差也是21k，那么(1)(21)(21)2knnSnkk(1)(21)2nnk.于是，当1,2,,kp时，可得12pSSS(1)[13(21)]2nnp2(1)2nnp.8.某公司的经营现状是：每月收入45万元，但因设备老化，需支付设备维修费，第一个月为3万元，以后逐月增加2万元.（1）该公司在第几个月取得累计总收益的最大值？最大值是多少？（2）该公司从第几个月起必须进行设备更新？提示：（1）设该公司第n个月取得的累计总收益为nA，则(1)45[32]2nnnAnn222434343()()22nnn.由于nN，当21n或22时，取得累计总收益的最大值，其值为462万元.（2）由于该公司第n个月取得的收益为45[3(1)2]4420nann，可得22n.显然，第23个月的收益小于零，故从第22个月起必须进行设备更新.9.若数列na的前n项和为2)(1nnaans，求证：数列na为等差数列.提示：由212))(1(2)(1111111nnaaaaaanaanassannnnnnnn.因此212312)()(1211113141213121nnaaaaaaaaaaaaaaaaaannn121121))(1(aaaaaanaannn.故数列na为等差数列.10.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.(1)若首项1a32，公差1d，求满足2)(2kkSS的正整数k；(2)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有2)(2kkSS成立.提示：(1)不妨设2nSAnBn，则得22222(),kkSAkBkSAkBk，由2)(2kkSS可得2222()()kAkBkAkB，考虑到k为正整数，从而22222AkBAkABkB，也即222()2()0AAkABkBB，又11,1,222ddABa所以2104kk，因为0k，从而4k为所求.(2)由于“对于一切正整数k都有2)(2kkSS成立”，为此只需寻求,AB即可.由(1)可知2222()2()0kAAkABkBB.考虑到对一切正整数k都有2)(2kkSS成立，故只需220,20,0,AAABBB解之得①0,0AB或②1,0AB或③0,1.AB又1,,22ddABa从而可得①10,0da或②12,1da或③10,1.da故满足题意的无穷等差数列有：①0,0,0,0,；②21,1,2,3,nann；③1,1,1,1,.