10-4-非线性电阻电路的数值解法

10-4非线性电阻电路的数值解法一、概述数值解法：是指利用数学领域中数值分析的某种算法得到满足一定精确度要求的解。数值解法的特点：精确度高；算法多样；计算复杂，是属于计算机辅助计算范畴内的方法。非线性电阻电路的数值解法是利用数值分析中的某种算法求解非线性代数方程。本节只介绍求解非线性代数方程中的一维牛顿-拉夫逊算法。一维牛顿-拉夫逊算法适用于只含一个非线性电阻元件，或可以化简为只含一个非线性电阻的电路。二、牛顿-拉夫逊算法1.非线性代数方程实例在图示电路中，R为电压控制型非线性电阻，其伏-安特性的数学函数表达式为I=fR(U)(如I=U+AU-B，A和B为常数)。求非线性电阻R的静态工作点。RI+-U+-UOCRin3根据KVL有U+RinI=U+RinfR(U)=UOC令f(x)=U+RinfR(U)-UOC=0则f(x)=0为以电压U为变量的非线性代数方程。2.牛顿-拉夫逊法思路设初始猜测值(1)x处展将在f(x)(1)x成泰勒级数f(x)≠0(1)忽略高阶导数项构成迭代公式反复迭代得满足误差要求解将在f(x)(1)x处成泰勒级数为LL+忽略高阶导数项后有-+=)1()1()1())(()(xxxfxf)(xf′-+2)1()1())((21xxxf′-+≈)1()1()1()=F(x))(()(xxxfxf)(xf′f(x)=0的解可用求F(x)=0(线性方程)的解近似替代-+)1()1()1()=0)(()(xxxfxf′即)1()()()1()1(xfxfxx-=即有)1()()()1()1(xfxfxx-=若此x不是F(x)=0的解，可将其作为第二次猜测值x(2)即可有)1()()()1()1(xfxfxx-=(2)同理即可有)2()()()2()2(xfxfxx-=(3)……)n()()()n()n(xfxfxx-=(n+1)牛顿-拉夫逊法迭代公式使用条件：)≠0()n(xf)n()()()n()n(xfxfxx-=(n+1)当x-x≤e(误差要求)时停止迭代，求得解。(n-1)n理论依据0xf(x)f(x)(1)x(1)f(x)(2)x(2)x(3)f(x)(3)f(x)=0x(1)以初始猜测值找到非线性方程的猜测解；f(x)(1)以处的线性方程F(x)=0(切线)，使用迭代公式逐步逼近真解。f(x)(1)真解几点结论：(1)牛顿-拉夫逊法是否能求得满足要求的近似解，取决于非线性元件的伏-安特性和初始猜测值。(2)能得到满足要求的近似解时称为收敛，否则称为不收敛。(4)牛顿-拉夫逊法迭代计算复杂，需要用计算机编程进行计算。(5)在程序中除设定收敛判据外，还用设定迭代次数或限定计算时间的方法防止无休止计算。(3)将x-x≤e(误差要求)称为收敛判据。(n-1)n(6)牛顿-拉夫逊法对复杂非线性电阻电路不易找到全部解。提示：自学教材P322例题一一、小信号和动态电阻1.小信号在直流和交变电源共同激励下的非线性电路中，若交变激励源的幅值(或有效值)远远小于直流值，则此交变激励源称为小信号。在非正弦激励下的非线性电路中，若交流分量的幅值(或有效值)远远小于直流分量，则此交流分量称为小信号。如：在左图非线性电路中，激励源则uS(t)称为小信号。此电路称为小信号非线性电路。US+uS(t)=1+2×10sinwtV-3RSi(t)+-u(t)+-US+uS(t)R110-5非线性电阻电路的小信号分析法OIU2.动态电阻和动态电导DuI0U0直流分量US可决定工作点P(U0,I0)；由叠加定理可知：电路中的u(t)和i(t)响应分别为u(t)=U0+Du,i(t)=I0+DiRSi(t)+-u(t)+-US+uS(t)R1实例R1u(t)=f(i(t))PDiUSUS/RS小信号uS(t)某时刻的电压响应为Du，电流响应为Di。非线性电阻R1的伏-安特性u(t)=f(i(t))可为U0+Du=f(I0+Di)将函数f(I0+Di)在工作点P(U0,I0)处展成泰勒级数有U0+Du=f(I0)+f(I0)Di+f(I0)Di+…′21′′2U0+Du=f(I0)+f(I0)Di+f(I0)Di+…′21′′2OIUDuDiI0U0RSi(t)+-u(t)+-US+uS(t)R1P实例R1u(t)=f(i(t))USUS/RS泰勒级数略去高阶项有U0+Du=f(I0)+f(I0)Di′式中f(I0)=′dudii=I0动态电阻：是指在小信号非线性电路中，非线性电阻特性上工作点处的电压对电流的微分值。dudii=I0=Rd动态电阻令式中dudii=I0=Rd动态电阻动态电阻：是指在小信号非线性电路中，非线性电阻特性上工作点处的电压对电流的微分值。利用对偶关系可有动态电导：是指在小信号非线性电路中，非线性电阻特性上工作点处的电流对电压的微分值。diduu=U0=Gd动态电导动态电阻和动态电导取决于：小信号非线性电路中的非线性电阻特性和直流工作点。二、小信号分析法1.思路非正弦激励源小信号非线性电路直流分量时变小信号直流非线性电路动态电阻(电导)响应Du,Di线性电路U0I0u(t)=U0+Dui(t)=I0+Di+求解工作点2.解题步骤(2)求动态电阻Rd(或动态电导Gd)，画出小信号激励下的等效电路。(1)计算直流激励下的工作点P(U0,I0)。（3）计算时变小信号激励下的响应Du和Di。(4)将工作点P(U0,I0)的U0与I0分别与Du和Di相加，得到电路的解u(t)和i(t)。413例题电路如图，已知RS=1W，US=3V，IS=1A，非线性电阻R的电流与电压关系为i=u，式中i的单位为A，u的单位为V。时变小信号电压源uS(t)=2×10sinwtV。求流过非线性电阻R的电流i(t)。-3i+-u+-uS(t)RS+-USISR解：直流电路i+-uRS+-USISR3V1W1A××××i/AO112324345678u/VRi+-u+-UOCRinW14VUOC·工作点P(I0，U0)P得I0=2A，U0=2VU0UOC·RinI0也可由非线性电阻R函数式试探得工作点，在i=u中413413×2u=2V时当=2=iR的特性曲线已得I0=2A，U0=2V例题电路如图，已知RS=1W，US=3V，IS=1A，非线性电阻R的电流与电压关系为i=u，式中i的单位为A，u的单位为V。时变小信号电压源uS(t)=2×10sinwtV。求流过非线性电阻R的电流i(t)。i+-u+-uS(t)RS+-USISR413-3i+-u+-uS(t)RSR时变小信号电路动态电导为diduu=U0Gd==diduu=24122=×3×=3SRRtui)(dSS+=D最后得i(t)=I0+Di=2+1.5103-×tAwsin动态电阻为1GdRd=13=Wtwsin3)(1/11023+×=-=1.5103-×twsinA10-5其它非线性元件一、非线性电容定义：电容上的电荷q与其两端的电压u成非线性函数关系，即q=f(u)为非线性函数。二、非线性电感定义：电感上的磁链y与产生该磁链的电流i成非线性函数关系，即y=f(i)为非线性函数。三、非线性受控电源定义：在4种受控电源的控制关系中，控制系数为常数，但受控量与控制变量不是线性正比关系，则为非线性受控电源。如UCS=mUx3为非线性VCVS符号C+-uCiC+-uCi符号L+-uL+-LuL