机器人第2讲

2019/8/21自由度计算1)自由度(DegreeofFreedom,DOF)：物体能够对坐标系进行独立运动的数目。刚体在三维空间中有6个自由度，显然机器人要完成任一空间作业，也需要6个自由度。机器人的运动是由手臂和手腕的运动组合而成的。通常手臂有3个关节，用以改变手腕的位置，称为定位机构；手腕也有3个关节，通常这3个关节轴线相交，用来改变末端件（手爪）的姿态，称为定向机构。机器人可以看成是定位机构连接定向机构2019/8/22自由度计算1)自由度(DegreeofFreedom,DOF)：对于6自由度并联机器人，其结构是闭环结构，主要优点是结构刚度大，由6个油缸驱动，决定末端执行器的位置和姿态。油缸的1端与基座相连（2自由度虎克铰），另1端与末端执行器相连（3自由度球铰），该机器人将手臂和手腕的自由度集成在一起。主要特点为：刚度大，但运动范围十分有限，运动学反解特别简单，而运动方程的建立特别复杂，有时还不具备封闭的形式2019/8/23自由度计算1)自由度(DegreeofFreedom,DOF)：其自由度的计算不如开式链明显，根据机构自由度公式可以确定并联机器人的自由度niifnlF1)1(6l——连杆数，包括基座；n——关节总数；fi——第i个关节的自由度数2019/8/24自由度计算1)自由度(DegreeofFreedom,DOF)：Stewart平台有18个关节，14个连杆，18个关节有36个自由度，代入上式得636)11814(6F2019/8/25第二章机器人运动学2-1概述机器人运动学是研究机器人各关节运动的几何关系。•机器人关节由驱动器驱动，关节的相对运动导致连杆的运动，使手爪到达所需的位姿•机器人可以看成开式运动链，由一系列连杆通过转动或移动关节串联而成。•机器人的执行机构是一个多刚体系统2019/8/262-2研究的问题和方法本章研究的问题：机器人的正逆运动学当已知所有的关节变量时，可以用正运动学来确定机器人末端手的位姿；如果要使机器人的末端手放在特定的点上并且具有特定的姿态，可用逆运动学来计算出每一关节变量的值。本章研究的方法：首先用矩阵建立物体位姿以及运动的表示，然后研究直角、圆柱及球坐标等不同构型机器人的正逆运动学，最后利用D—H表示法推导机器人所有可能构型的正逆运动学2019/8/272-3空间点的表示空间点P可以用三个坐标来表示空间点的位置kcjbiaPzyxzyxPczaxbykcjbiaPzyx可以用向量表示：用矩阵表示：zyxcbaP2019/8/282-4转动矩阵1．刚体位置和方向的矩阵表示对于一个刚体，若给定了其上某一点的位置和该刚体在空间的姿态，则这个刚体在空间完全得到定位。刚体在O系中的坐标可用一个列矩阵表示：oooozyxR（2-1）2019/8/292-4转动矩阵1．刚体位置和方向的矩阵表示刚体在固定坐标系内的方向可用由三个矢量组合起来的3阶矩阵C表示ntb（2-2）][btnC2．转动矩阵的一般形式刚体的运动由转动和平移组成，而运动的描述可以用上述O系和O’系的关系来表达，因此我们首先看反映刚体定点转动的坐标系变换矩阵——转动矩阵，这是研究机器人运动姿态的基础。2019/8/2102-4转动矩阵2．转动矩阵的一般形式设有两个共原点的右手坐标系OXiYiZi和OXjYjZj空间有一点P，该点在i、j系内的坐标分别为Tiiizyx][Tjjjzyx][P点从j系变换到i系的坐标变换关系为：2019/8/2112-4转动矩阵2．转动矩阵的一般形式),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(jijjijjijijijjijjijijijjijjijizzzyzyxzxzzyzyyyxyxyzxzyxyxxxx(2－3)（2－4）jjiirRr]][[][（2－5）),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(][jijijijijijijijijijizzyzxzzyyyxyzxyxxxR2019/8/2122-4转动矩阵2．转动矩阵的一般形式即为一般形式的转动矩阵，也称为从j系向i系变换的转动矩阵。对i系来说，描述了j系的姿态，故也称其为姿态矩阵，又因内各元素皆为坐标轴之间的方向余弦，所以也可称之为方向余弦矩阵，也可用表示。][jiR][jiR][jiC当两个坐标系无相对转动时，][][IRji若取j系为参考系，则P点从i系到j系的坐标变换关系为：（2－6）iijjrRr]][[][2019/8/2132-4转动矩阵转动矩阵为正交阵（2－7）),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(][ijijijijijijijijijijzzyzxzzyyyxyzxyxxxRiijijijrRrRr]][[][][][1TjijiijRRR][][][12019/8/2142-4转动矩阵3．绕一个坐标轴旋转的转动矩阵绕X、Y、Z坐标轴的旋转（图2－3）变换矩阵是最基本的转动矩阵，它们是一般转动矩阵的特例，故可直接由一般转动矩阵得到。2019/8/2152-4转动矩阵3．绕一个坐标轴旋转的转动矩阵由式（2－5）可得到绕x轴旋转θ角的转动矩阵为：（2－8）cossin0sincos0001)],([XRji2019/8/2162-4转动矩阵3．绕一个坐标轴旋转的转动矩阵（2－9）cos0sin010sin0cos)],([YRji（2－10）1000cossin0sincos)],([ZRji2019/8/2172-4转动矩阵3．绕一个坐标轴旋转的转动矩阵从上述三个矩阵可以总结出转动矩阵的若干特点：1)主对角线上有一个元素为1，其余均为转角θ的余弦；2)绕轴转动的次序与元素1所在的行、列号对应；3)元素1所在的行列，其它元素为零；4)以元素1所在的行为准，至上而下，先出现的正弦为负，5)后出现的为正。这四个特点可以帮助我们有效地记忆。2019/8/2182-4转动矩阵4．绕两个坐标轴旋转的转动矩阵设坐标系先绕Zi旋转θ角形成坐标系，再绕Xm轴旋转α角，形成坐标系如图2－4，iiiZYOXmmmZYOXjjjZYOX（2－11）mmiirZRr])][,([][（2－12）jjmmrXRr])][,([][2019/8/2192-4转动矩阵4．绕两个坐标轴旋转的转动矩阵（2－13）jjijjmmimmiirRrXRZRrZRr])][,([])][,()][,([])][,([][此式表明，运用转动矩阵的连乘可以进行坐标系的连续变换，此时的转动矩阵为：cossin0sincoscoscossinsinsincossincoscossin0sincos00011000cossin0sincos)],([jiR（2－14）2019/8/2202-4转动矩阵5．绕三个坐标轴旋转的转动矩阵三次旋转的方式很多，机器人学中多采用欧拉角（Euler）旋转，所谓欧拉角即对绕轴转动的转角规定一个序列，由于欧拉角的不同取法，转动矩阵有不同的表达式。1)用欧拉角、、表示（2－15）)],()][,()][,([)],,([ZRYRZREulerji2019/8/2212-4转动矩阵5．绕三个坐标轴旋转的转动矩阵此式右边表示三次连续旋转的转动矩阵。反之，右边三个矩阵从右向左连乘，表示各次旋转均绕参考系i的有关轴进行，即先绕Z轴旋转角，再绕Y轴旋转θ角，最后再绕Z轴旋转角，如此可同样得到j系对i系的姿态。可见多个转动矩阵连乘时，次序不同则含义不同，右乘的次序说明连续绕新的坐标轴转动，往左乘的次序则表明绕固定参考系坐标轴依次转动。2019/8/2222-4转动矩阵5．绕三个坐标轴旋转的转动矩阵csscsssccscsscccssccssccsscccEulerji1000cossin0sincoscos0sin010sin0cos1000cossin0sincos)],,([（2－16）2019/8/2232-4转动矩阵5．绕三个坐标轴旋转的转动矩阵2)用横滚角、俯仰角θ、侧摆角表示这三个角是导航专业中常用的，如图2－6所示，j系开始时与i系重合，横滚（Roll）是绕Zi轴旋转角，俯仰（Pitch）是绕Yi轴旋转θ角，侧摆（Yaw）是绕Xi轴旋转角。我们规定旋转次序为先绕Xi轴、再绕Yi轴、最后绕Zi轴，则三次转动矩阵为：2019/8/2242-4转动矩阵2019/8/2252-4转动矩阵ccscssccssccssscssscsccssscccXRYRZRRPYjicossin0sincos0001cos0sin010sin0cos1000cossin0sincos)],()][,()][,([)],,([（2－17）2019/8/2262-5齐次坐标变换刚体的运动是由转动和平移组成的，纯转动变换阵如上节所述用3×3矩阵来表示，显然此三阶矩阵内的元素均与转动有关，已不可能反映平移，为了能让同一矩阵表示转动和平移，有必要引入4×4的齐次坐标变换矩阵。1齐次坐标在三维直角坐标系中，一个点可以表示为，若用4个数组成一个列向量：Tcba][2019/8/2272-5齐次坐标变换zyxU来表示上述点，且令它们的关系为：Tcba][/xa/yb/zc则称称为三维空间点的齐次坐标，如是点的齐次坐标。Tzyx][Tcba][Tcba]1[Tcba][2019/8/2282-5齐次坐标变换坐标系在固定参考坐标系原点的表示zzzyyyxxxaonaonaonF2019/8/2292-5齐次坐标变换坐标系在固定参考坐标系中的表示1000PaonPaonPaonFzzzzyyyyxxxx2019/8/2302-5齐次坐标变换例：如图所示，F坐标系原点在参考坐标系中的坐标（3，5，7），它的n轴与x轴平行，o、a分别相对于y、z轴的角度均为45度，求该坐标系与参考坐标系的齐次变换矩阵10007707.0707.005707.0707.003001F2019/8/2312-5齐次坐标变换刚体的表示1000PaonPaonPaonFzzzzyyyyxxxxobject2019/8/2322-5齐次坐标变换空间的一个刚体有六个自由度；上式给出了12条信息，其中9条为姿态信息，3条为位置信息；表达式中必定存在一定的约束条件将上述信息数限制为6。因此，需要用6个约束方程将12条信息减少到6条信息2019/8/2332-5齐次坐标变换三个向量，，相互垂直；每个单位向量的长度必须为1。这些约束条件可转换为六个约束方程：noa0on0an0oa1n1o1a2019/8/2342-5齐次坐标变换前三个方程也可以换用如下三个向量的叉积来代替：aon