状态转移矩阵性质的证明

(二)状态转移矩阵（矩阵指数函数）的基本性质1、性质一()()()()AtAAttteee这就是组合性质。证明：()()[()]()()ttt＝＝＝＝＝证毕另：左端：()()(0)[0()]tt右端：()()tt(0)0()()tt即从转移到t等于转移到0，再从0转移到t的状态组合反之，()()()tt或者2、性质二()()AttttIeI证明：()2211()()2!AtteAttAttI()()AtttteI这里显然的，因为状态矢量从时刻t又转移回到时刻t，当然状态矢量不变。3、性质三（可逆性）11()()AtAtttee证明：()()()ttttI==========()()()ttttI==========即()()()()ttttI=根据逆矩阵的定义，1[()]()tt或1AtAtee4、性质四()()()AtAtAttAttAdeAeeAdt&有的书，把本性质作为状态转移矩阵的定义给出，即如果矩阵满足00()()ttAtt&，(0)I，称0()tt为状态转移矩阵。证明：22112!!AtkkeIAtAtAtk2321122111112!(1)!!111()2!(1)!!AtkkkkkkkkAtdeAAtAtAtAtdtkkAIAtAtAtAtkkAe232112211221112!(1)!!1112!(1)!!11()2!!AtkkkkkkkkkkAtdeAAtAtAtAtdtkkAAtAAtAAtAAtAkkIAtAtAtAkeA5、性质五（传递性）211020()()()tttttt证明：21102110()()()()()()tttttttt111111()()()()ttttttI202020()(0)()()()()tttttt原式6、性质六对于nn方阵A和B，当且仅当ABBA时，有()AtBtABteee；而当ABBA时，则()AtBtABteee。该性质表明，除非A和B矩阵是可交换的，否则它的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不相等(与标量函数不同)。2233223322332233422231111()()2!3!2!3!112!3!112!3!1112!2!2!AtBteeIAtAtAtIBtBtBtIAtAtAtBtABtABtABtBtABt22433342352!1113!3!2!3!ABtBtABtABt223233311()(2)(33)2!3!IABtAABBAABABBt而()223311()()()2!3!ABteIABtABtABt2311()()()()()()2!3!IABtABABtABABABt22222311()()()()2!3!IABtABAABBtABAABBABt222322223311()()()2!3!IABtABAABBtABAABABAABBABABBt显然要使上面两式相等，当且仅当ABBA成立。