一元函数极限的求法

第1页本科学生毕业论文一元函数极限的求法作者院(系)专业数学与应用数学年级2008级学号指导老师论文成绩日期第2页学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果,也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料．与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定,即：学校有权保留送交论文的复印件,允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文．签名：导师签名：日期：第1页一元函数极限的求法摘要：本文介绍了求极限的几种方法,通过对函数特点的分析恰当选择不同的方法,并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想．关键词：极限；方法；函数；介绍1引言极限研究的是函数的变化趋势,在自变量的某个变化过程中,对应的函数值能无限接近某个确定的数,那这个数就是函数的极限了.极限是数学分析中一个非常重要的概念,是贯穿数学分析的一条主线,它将数学分析的各个知识点连在了一起,所以,求极限的方法显得尤为重要的.我们知道,函数是数学分析研究的对象,而极限方法则是在数学分析中研究函数的重要方法,因此怎样求极限就非常重要1.早在我国古代刘徽的九章算术中提到“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”就涉及了到了极限.古希腊人的“穷竭法”也蕴含了极限思想.到了18世纪,罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念,并且都对极限作出过各自的定义.在有了极限的定义之后,为了判断具体某一函数是否有极限,人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨.在经过了许多数学家的不断努力之后,法国数学家柯西获得了完善的结果,即柯西收敛原理,到了近代,在数学家们的努力下给了极限一个专业的定义.有了极限的定义自然就有了许多求极限的方法2.本文介绍了一些求极限的方法有：利用定义、函数连续性、四则运算、两个重要极限、等价无穷小量代替求极限、洛必达法则、泰勒展式求极限、微分中值定理、迫敛性等等.那么在运用这些方法时应该注意一些细节问题.在利用定义,求解的关键在于不等式的建立,在求解过程中往往采用放大、缩小等技巧.运用连续性求极限时,在定义域范围内求极限,可以将该点直接代入得极限值,因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值.运用极限四则运算时,要注意分子分母有理化,当然对于简单的一类,直接代入,如果代入后分母为零,就化简,比如分解因式,然后代入其中.当极限形式中含有三角函数时,这时我们一般可通过三角公式恒等变换和等价变换,然后利用重要极限0sinlim1xxx来求解.在运用重要极限1lim1xxex2求极限时,可通过配系数法、变量替换来转换成1型极限.2求极限的方法2.1利用定义求极限定义2.1.12设f在点x=a的空心邻域aU有定义,A为定数．若对于任给的0,存在0,使得当0ax时有Axf)(,则称函数f当x趋于a时,以A为极限,记作lim()xafxA或axAxf．定义2.1.22设f为定义在,a上的函数,A为定值,若对任给正数,存在正数M()a,使得当xM时有第2页Axf,则称函数f当x时以A为极限,记作Axfxlim或xAxf．x趋向于时的函数极限的定义与定义2.1.2相似,只要把定义中的xM改为Mx即可．例2.1.1用极限定义证明：2limx2-23-2xxx=1证由12232xxx=2442xxx=2)2(2xx=2x．0,取=则当02x时,就有12232xxx,由函数极限-定义有2limx2-23-2xxx=1．注用极限的定义时,只需要证明存在,故求解的关键在于不等式的建立,在求解过程中往往采用放大、缩小等技巧．但是不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大,而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大,有时还需要加入一些限制条件．限制条件必须和所求的一致,最后结合在一起考虑．2.2利用单侧极限求极限这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限,首先必须考虑分段点的左、右极如果左、右极限都存在且相等,则函数在分界点处的极限存在,否则极限不存在．定理2.2.1函数极限)(lim0xfxx存在且等于A的充分必要条件是左极限)(lim0xfxx及右极限)(lim0xfxx都存在且都等于A．即有Axfxx)(lim0)(lim0xfxx=)(lim0xfxx=A.例2.2.121sin,0()1,0xxfxxxx求()fx在0x的左右极限．解因为01sinlim0xxx,11lim20xx,所以()fx在0x的极限不存在.2.3利用迫敛性定理求极限2定理2.3.1设在某)(00xU内有()()()fxgxhx,若lim()lim()fxhxA第3页（这里0xx,或0xx,或_0xx,或x,或x,或x）,则lim()lim(()())0gxAfxhx．由内容看出用迫敛性定理的关键在于找出具有相同极限值的()fx,()gx．用缩小,放大的办法找出)}({)},({xgxf．例2.3.1求01limxxx．解当x0时,有1x1xx1,而0lim11xx,故由迫敛性可得01lim1xxx．另一方面,当0x时,有111xxx,故由迫敛性又可得01lim1xxx,综上所述,我们可以得出01lim1xxx．注做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数,并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限．2.4利用函数极限的四则运算求极限定理2.4.13若极限0lim()xxfx和0lim()xxgx都存在,则函数)(xf)(xg,)()(xgxf当0xx时也存在,且(1)000lim[()()]lim()lim()xxxxxxfxgxfxgx；(2)000lim[()()]lim()lim()xxxxxxfxgxfxgx；(3)若0lim()xxgx0,则)()(xgxf在0xx时极限也存在,且有000lim()()lim()lim()xxxxxxfxfxgxgx．例2.4.1求43842lim23232xxxxxx解由于2x时,084223xxx,04323xx故无法直接用四则运算,应先化简原函数原式=43842lim23232xxxxxx=)4()2()2(4)2(lim22322xxxxxxx第4页=)1)(2)(2()2)(2)(2(lim2xxxxxxx=2(2)lim(1)xxx4=3．注利用函数极限的四则运算法则求极限是最基本、最直接的方法,但需注意的是各个函数的极限必须存在且分母的极限不能为零．有些情况下能直接利用极限的四则运算法则,而有时我们无法直接利用极限的四则运算法则,这时就要求我们对所给的函数进行化简变形,之后再利用四则运算法则求解．对要求的函数进行适当变形和化简,常用的变形或化简有分式的约分或通分、分子或分母的有理化以及适当的变量替换．2.5利用海涅定理（归结原理）求极限2设函数f在0'0(,)Ux内有定义,0limxxfx存在的充要条件是：对任何含于0'0(,)Ux且以0x为极限的数列nx,极限)(limnnxf都存在且相等．此定理的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理,通常利用此定理的逆否命题来判断极限不存在．例2.5.1求极限01limsinxx．解设'1nxn,''11,2,22nxnn,显然有'0nx,''0nxn,则'1sin00nx,''1sin11nxn,所以'''11limsinlimsinxxnnxx,则由归结原理可得该极限不存在．2.6用单调有界原理求极限定理2.6.1设f为定义在00()Ux上的单调有界函数,则右极限0limxxfx存在．当0xx,x时其相应的单侧极限在其定义域内上述定理亦存在．在运用此定理时,先确定定义域,再证明其单调性,然后就求极限．例2.6.1设01,1,2,nxn212,limnnnnnxxxx求解因为12,01,nnnnxxxx所以1nnxx即nx单调增加,根据有界性显然limnnx存在．设limnnxa,对212nnnxxx两边求极限,得第5页22aaa,解之得1,0aa（舍去）,因此lim1nnx．2.7利用柯西准则求极限设函数f在0'0(,)Ux内有定义,0limxxfx存在的充要条件是：任给0,存在正数',使得对任何'x,''00(,)xUx有：'''fxfx．从定义出发,一般用于反正法,函数列中用的多,主要找准''',xx,然后作出)()('''xfxf的差．例2.7.1求极限limsinxx．解取0120,对任给0M,记1nMM存在112xnM,2xnM,使得1201sinsin12xx,则由柯西准则可知limsinxx不存在．2.8利用两个重要极限求极限（一）第一个重要极限是0sinlim1xxx该极限的特点（1）（00）型不定式；(2)sin()()括号中变量的形式相同；(3)若（1）满足,(2)不满足,则变形使(2)满足．例2.8.1求201coslimxxx解由于222202sinsin1cos122lim()22xxxxxxx,令2x,且当0x时,有0,所以第6页0sin2lim2xxx=0sinlim1,从而201coslimxxx=0limx2sin12()22xx=12．（二）第二个重要极限是10lim(1)xxxe或1lim(1)xxx该极限的特点（1）1型不定式；(2)1()(1())括号中变量的形式相同；(3)若（1）满足,(2)不满足,则变形使(2)满足．例2.8.2求10lim(1)xxx解令xu,则当0x时0u因此0limx1(1)xx=101lim(1+)uuue．注利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限．一般常用的方法是换元法和配指数法．总之,利用两个重要极限求极限时,必须化成两个重要极限的形式．2.9利用等价无穷小量代替求极限４所谓等价无穷小量即当0xx时,()fx与gx（）均为无穷小量,若0()lim1()xxfxgx称)(xf与)(xg是0xx时的等价无穷小量,记作)(xf)(~xg.)(0xx.例2.9.1求2+01sin1lim1xxxxe解当0x的时候,0sinxx,2sin~1sin1xxxx,而此时2~12xex,所以原式=+20sin1lim22xxxx．注（1）无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量．例如,当x→,x1是无穷小量,2x个这种无穷小之和的极限显然为2．第7页（2）无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量．例如,当x→0x时,2x是无穷大量,21x是有界量,显然2x·21x→0．（3）0xx,()