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1《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1.事件的关系ABABAABBABA2.运算规则(1)BAABABBA(2))()()()(BCACABCBACBA(3)))(()()()()(CBCACABBCACCBA(4)BAABBABA3.概率)(AP满足的三条公理及性质:(1)1)(0AP(2)1)(P(3)对互不相容的事件nAAA,,,21,有nkknkkAPAP11)()((n可以取)(4)0)(P(5))(1)(APAP(6))()()(ABPAPBAP,若BA,则)()()(APBPABP,)()(BPAP(7))()()()(ABPBPAPBAP(8))()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP4.古典概型:基本事件有限且等可能5.几何概率6.条件概率(1)定义:若0)(BP,则)()()|(BPABPBAP(2)乘法公式:)|()()(BAPBPABP若nBBB,,21为完备事件组,0)(iBP,则有(3)全概率公式:niiiBAPBPAP1)|()()((4)Bayes公式:niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(7.事件的独立性:BA,独立)()()(BPAPABP(注意独立性的应用)2第二章随机变量与概率分布1.离散随机变量:取有限或可列个值,iipxXP)(满足(1)0ip,(2)iip=1(3)对任意RD,DxiiipDXP:)(2.连续随机变量:具有概率密度函数)(xf,满足(1)1)(,0)(-dxxfxf;(2)badxxfbXaP)()(;(3)对任意Ra,0)(aXP3.几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布),1(pBpXP)1(,pqXP1)0(ppq二项式分布),(pnBnkqpCkXPknkkn,2,1,0,)(,npnpqPoisson分布)(P,2,1,0,!)(kkekXPk几何分布)(pG,2,1,)(1kpqkXPkp12pq均匀分布),(baUbxaabxf,1)(,2ba12)(2ab指数分布)(E0,)(xexfx121正态分布),(2N222)(21)(xexf24.分布函数)()(xXPxF,具有以下性质(1)1)(,0)(FF;(2)单调非降;(3)右连续;(4))()()(aFbFbXaP,特别)(1)(aFaXP;(5)对离散随机变量,xxiiipxF:)(;(6)对连续随机变量,xdttfxF)()(为连续函数,且在)(xf连续点上,)()('xfxF5.正态分布的概率计算以)(x记标准正态分布)1,0(N的分布函数,则有(1)5.0)0(;(2))(1)(xx;(3)若),(~2NX,则)()(xxF;3(4)以u记标准正态分布)1,0(N的上侧分位数,则)(1)(uuXP6.随机变量的函数)(XgY(1)离散时,求Y的值,将相同的概率相加;(2)X连续,)(xg在X的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则|))((|))(()('11ygygfyfXY,若不单调,先求分布函数,再求导。第三章随机向量1.二维离散随机向量,联合分布列ijjipyYxXP),(,边缘分布列iipxXP)(,jjpyYP)(有(1)0ijp;(2)ijijp1;(3)jijipp,iijjpp2.二维连续随机向量,联合密度),(yxf,边缘密度)(),(yfxfYX,有(1)0),(yxf;(2)1),(yxf;(3)GdxdyyxfGYXP),()),((;(4)dyyxfxfX),()(,dxyxfyfY),()(3.二维均匀分布其它0,),(,)(1),(GyxGmyxf,其中)(Gm为G的面积4.二维正态分布),,,,(~),(222121NYX,其密度函数(牢记五个参数的含义)2222212121212221)())((2)()1(21exp121),(yyxxyxf且),(~),,(~222211NYNX;5.二维随机向量的分布函数),(),(yYxXPyxF有(1)关于yx,单调非降;(2)关于yx,右连续;(3)0),(),(),(FyFxF;(4)1),(F,)(),(xFxFX,)(),(yFyFY;(5)),(),(),(),(),(111221222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP;(6)对二维连续随机向量,yxyxFyxf),(),(246.随机变量的独立性YX,独立)()(),(yFxFyxFYX(1)离散时YX,独立jiijppp(2)连续时YX,独立)()(),(yfxfyxfYX(3)二维正态分布YX,独立0,且),(~222121NYX7.随机变量的函数分布(1)和的分布YXZ的密度dxxzxfdyyyzfzfZ),(),()((2)最大最小分布第四章随机变量的数字特征1.期望(1)离散时iiipxXE)(,iiipxgXgE)())((;(2)连续时dxxxfXE)()(,dxxfxgXgE)()())((;(3)二维时jiijjipyxgYXgE,),()),((,dydxyxfyxgYXgE),(),()),(((4)CCE)(;(5))()(XCECXE;(6))()()(YEXEYXE;(7)YX,独立时,)()()(YEXEXYE2.方差(1)方差222)()())(()(EXXEXEXEXD,标准差)()(XDX;(2))()(,0)(XDCXDCD;(3))()(2XDCCXD;(4)YX,独立时,)()()(YDXDYXD3.协方差(1))()()())]())(([(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov;(2)),(),(),,(),(YXabCovbYaXCovXYCovYXCov;(3)),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov;(4)0),(YXCov时,称YX,不相关,独立不相关,反之不成立,但正态时等价;5(5)),(2)()()(YXCovYDXDYXD4.相关系数)()(),(YXYXCovXY;有1||XY,1)(,,1||baXYPbaXY5.k阶原点矩)(kkXE,k阶中心矩kkXEXE))((第五章大数定律与中心极限定理1.Chebyshev不等式2)(}|)({|XDXEXP或2)(1}|)({|XDXEXP2.大数定律3.中心极限定理(1)设随机变量nXXX,,,21独立同分布2)(,)(iiXDXE,则),(~21nnNXnii近似,或),(~121nNXnnii近似或)0,1(~1NnnXnii近似,(2)设m是n次独立重复试验中A发生的次数,pAP)(,则对任意x,有)(}{limxxnpqnpmPn或理解为若),(~pnBX,则),(~npqnpNX近似第六章样本及抽样分布1.总体、样本(1)简单随机样本:即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法);(2)样本数字特征:样本均值niiXnX11()(XE,nXD2)();样本方差niiXXnS122)(11(22)(SE)样本标准差niiXXnS12)(11样本k阶原点矩nikikXn11,样本k阶中心矩nikikXXn1)(12.统计量:样本的函数且不包含任何未知数3.三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)(1)2分布)(~2222212nXXXn,其中nXXX,,,21独立同分布于标准正态分布)1,0(N,若)(~),(~2212nYnX且独立,则)(~212nnYX;6(2)t分布)(~/ntnYXt,其中)(~),1,0(~2nYNX且独立;(3)F分布),(~//2121nnFnYnXF,其中)(~),(~2212nYnX且独立,有下面的性质),(1),(),,(~11221112nnFnnFnnFF4.正态总体的抽样分布(1))/,(~2nNX;(2))(~)(11222nXnii;(3))1(~)1(222nSn且与X独立;(4))1(~/ntnSXt;(5))2(~)()(21212121nntnnnnSYXt,2)1()1(212222112nnSnSnS(6))1,1(~//2122222121nnFSSF第七章参数估计1.矩估计:(1)根据参数个数求总体的矩;(2)令总体的矩等于样本的矩;(3)解方程求出矩估计2.极大似然估计:(1)写出极大似然函数;(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数;(4)令导数或偏导数为0,解出极大似然估计(如无解回到(1)直接求最大值,一般为min}{ix或max}{ix)3.估计量的评选原则(1)无偏性:若)ˆ(E,则为无偏;(2)有效性:两个无偏估计中方差小的有效;4.参数的区间估计(正态)参数条件估计函数置信区间2已知nxu/][2nux2未知nsxt/])1([2nsntx2未知222)1(sn])1()1(,)1()1([2212222nsnnsn
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