2019届中考数学总复习：11-反比例函数及其应用-(共32张PPT)

第11讲反比例函数及其应用考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析考点一考点二考点三考点四考点一反比例函数的图象和性质(高频)1.定义如果两个变量y与x的关系可以表示成(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数,其中x是自变量,常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数.2.表达式的确定待定系数法求表达式的步骤:(1)设出反比例函数表达式(2)找出满足反比例函数表达式的点P(a,b);(3)将P(a,b)代入表达式得k=ab;(4)确定反比例函数表达式为y=kxy=𝑘𝑥;y=𝑎𝑏𝑥.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析考点一考点二考点三考点四3.图象性质(1)反比例函数(k≠0,k为常数)的图象是双曲线,且关于原点对称.(2)反比例函数的图象性质y=𝑘𝑥表达式y=kx(k≠0,k为常数)kk0k0图象所在象限第一、三象限(x,y同号)第二、四象限(x,y异号增减性在每一象限内,y随x的增大而减小在每一象限内,y随x的增大而增大考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析考点一考点二考点三考点四(3)反比例函数值比较大小的方法①直接代入求解:将各自对应的横坐标值代入反比例函数表达式求出y值,直接比较;②增减性判断:先根据反比例函数的k值确定反比例函数的增减性,再看两点是否在同一分支上,若不在同一分支上,则可直接判断,若在同一分支上,利用增减性判断.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析考点一考点二考点三考点四考点二反比例函数k的几何意义1.如图,过双曲线上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.∵y=,∴xy=k.∴S=|k|,即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的矩形面积为|k|.2.如上图,过双曲线上的任意一点E作EF垂直于其中一坐标轴,垂足为F,连接EO,则S△EOF=,即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点与原点,所得三角形的面积为.|k|2𝑘𝑥|𝑘|2考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析考点一考点二考点三考点四3.计算与双曲线y=上点有关的图形面积𝑘𝑥S△AOP=|k|2S△APB=|k|2S△APP'=2|k|S△AOB=S△AOE+S△OEF+S△BOF考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析考点一考点二考点三考点四考点三反比例函数与一次函数结合(高频)利用函数图象确定不等式ax+b𝑘𝑥或ax+b𝑘𝑥的方法:如图,过交点A(xa,ya),B(xb,yb)分别作x轴的垂线,它们连同y轴把平面分为四部分,相应标为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ.1.在Ⅰ,Ⅲ部分,反比例函数图象位于一次函数图象上方,则不等式ax+b的解集为xxb或0xxa.2.在Ⅱ,Ⅳ部分,反比例函数图象位于一次函数图象下方,则不等式ax+b的解集为xbx0或xxa.𝑘𝑥𝑘𝑥考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法·互动研析考点一考点二考点三考点四考点四反比例函数的实际应用1.利用反比例函数的性质解决实际问题的步骤(1)分析问题中的数量关系,列出函数关系式.(2)研究自变量的取值范围.(3)研究所得的函数.(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值.(5)解决提出的实际问题.2.实际问题中的反比例函数,往往自变量的取值受到限制,这时对应的函数图象应是双曲线的一部分.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析命题点1命题点2命题点3命题点1反比例函数与一次函数结合1.(2015·安徽,21,12分)如图,已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A(1,8),B(-4,m).(1)求k1,k2,b的值;(2)求△AOB的面积;(3)若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数y=图象上的两点,且x1x2,y1y2,指出点M,N各位于哪个象限,并简要说明理由.𝑘1𝑥𝑘1𝑥考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析命题点1命题点2命题点3解(1)∵点A(1,8)在反比例函数y=k1x图象上,∴8=k11,k1=8.∵点B(-4,m)在反比例函数y=8x图象上,∴m=8-4=-2.根据题意,得k2+b=8,-4k2+b=-2.解得k2=2,b=6.4分(2)由(1)得一次函数解析式为y=2x+6,其图象与x轴的交点为(-3,0),故S△AOB=12×3×2+12×3×8=15.7分(3)点M在第三象限,点N在第一象限.8分理由:当x1x20时,此时y1y2,不合题意,舍去;当x10x2时,此时y10,y20,y1y2;当0x1x2时,此时y1y2,不合题意,舍去.综上所述,点M在第三象限,点N在第一象限.12分考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析命题点1命题点2命题点32.(2013·安徽,9,4分)图1所示矩形ABCD中,BC=x,CD=y,y与x满足的反比例函数关系如图2所示,等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点,M为EF的中点,则下列结论正确的是(D)A.当x=3时,ECEMB.当y=9时,ECEMC.当x增大时,EC·CF的值增大D.当y增大时,BE·DF的值不变图1图2考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析命题点1命题点2命题点3解析由题意,知△BEC和△DCF都是等腰直角三角形.观察反比例函数图象得x=3时,y=3,则反比例函数的解析式为y=9𝑥.当x=3时,y=3,即BC=CD=3,所以CE=2BC=32,CF=2CD=32,C点与M点重合,则EC=EM,所以A选项错误;当y=9时,x=1,即BC=1,CD=9,所以EC=2,而EM=32,所以B选项错误;因为EC·CF=2x(62−2x)=-2(x-3)2+18,所以当0x3时,EC·CF的值随x的增大而增大,所以C选项错误;因为BE·DF=BC·CD=xy=9,即BE·DF的值不变,所以D选项正确.故选D.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析命题点1命题点2命题点3命题点3反比例函数的应用提示:(2012安徽,21,12分)见第8讲[考题·体验感悟]第4题.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析例1(2017·浙江温州)如图,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴上,点B在第一象限,点D在边BC上,且∠AOD=30°,四边形OA'B'D'与四边形OABD关于直线OD对称(点A'和A,B和B'分别对应),若AB=1,反比例函数y=(k≠0)的图象恰好经过点A',B,则k的值为.考法1考法2考法3考法4考法1反比例函数表达式𝑘𝑥考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法1考法2考法3考法4答案:433解析:由点B在反比例函数的图象上且AB=1,可得OA=k,由对称性质可知OA'=OA=k,∠AOA'=2∠AOD=60°,所以点A'的坐标为12𝑘,32𝑘,因为点A'在反比例函数的图象上,所以12k×32k=k,所以k=433.方法总结本题考查了待定系数法求函数的解析式,即把符合要求的点的坐标(或一对x,y值)代入函数解析式,就可以求出解析式中的未知系数.对于反比例函数,只需知道一个点的坐标(或一对x,y值)就可以求出它的解析式.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析1.(2017·辽宁沈阳)点A(-2,5)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k的值是(D)A.10B.5C.-5D.-10考法1考法2考法3考法4对应训练𝑘𝑥2.(2017·浙江绍兴)如图,Rt△ABC的两个锐角顶点A,B在函数y=(x0)的图象上,AC∥x轴,AC=2,若点A的坐标为(2,2),则点B的坐标为(4,1).𝑘𝑥解析:∵点A(2,2)在函数y=𝑘𝑥(x0)的图象上,∴2=𝑘2,k=4.∵在Rt△ABC中,AC∥x轴,AC=2,∴点B的横坐标是4.∴y=44=1,∴点B的坐标为(4,1).考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法1考法2考法3考法43.(2017·四川资阳)如图,点A是函数y1=-6𝑥图象上一点,连接AO交反比例函数y2=𝑘𝑥(k≠0)的图象于点B,若BO=2AB,则k=.-83解析:如图,分别过点A,B向x轴作垂线,垂足依次为C,D.设A𝑎,-6𝑎,∵△OBD∽△OAC,且相似比为23,∴B23𝑎,-4𝑎.∴k=23a×-4𝑎=-83.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法1考法2考法3考法4考法2反比例函数的图象和性质例2(2016·山西)已知点(m-1,y1),(m-3,y2)是反比例函数y=(m0)图象上的两点,则y1y2(填“”“=”或“”).答案解析∵m0,∴m-3m-10,即点(m-1,y1)和(m-3,y2)在反比例函数y=的图象位于第二象限的双曲线上.∵反比例函数y=(m0)的图象在第二象限y随x的增大而增大,∴y1y2.𝑚𝑥mxmx考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法1考法2考法3考法4方法总结本题考查了反比例函数的图象和性质;在利用反比例函数的性质比较大小时,一定要注意已知的点是否在同一个象限,若在同一个象限内,则根据函数增减性比较,如本题;若不在同一个象限内,则要根据函数值的范围进行比较,如点(-2,y1),(3,y2)在反比例函数y=-的图象上,由于k=-1,则图象位于第二、四象限,又点(-2,y1)在第二象限,y10,点(3,y2)在第四象限,y20,故y10y2.1𝑥考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法1考法2考法3考法4对应训练4.(2017·山东潍坊)已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=,其中ab0,a,b为常数,它们在同一坐标系中的图象可以是(C)𝑎-𝑏𝑥5.(2017·上海)如果反比例函数y=(k是常数,k≠0)的图象经过点(2,3),那么在这个函数图象所在的每个象限内,y的值随x的值增大而减小.(填“增大”或“减小”)解析:∵反比例函数y=(k是常数,k≠0)的图象经过点(2,3),∴k=2×3=60.∴这个函数图象所在的每个象限内,y的值随x的值增大而减小.𝑘𝑥𝑘𝑥考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法1考法2考法3考法4考法3反比例函数的应用例3(2016·浙江金华)在四边形ABCD中,∠B=90°,AC=4,AB∥CD,DH垂直平分AC,点H为垂足.设AB=x,AD=y,则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为()考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法1考法2考法3考法4答案D解析∵DH垂直平分AC,∴AD=DC=y,HC=12AC=2.又AB∥CD,∴∠DCH=∠BAC,∠B=∠DHC=90°.∴△CDH∽△ACB.∴CDAC=CHAB.∴y=8x(0x4).故选D.方法总结本题考查了反比例函数的应用,函数的应用关键是找出自变量和函数之间存在的数量关系,而求几何图形中变量和函数之间的关系往往是通过找两个变量之间的几何关系,如变量与函数是两个相似三角形的对应边或某个图形的底边和高等,从而通过相似三角形性质或某个图形的面积进行求解.考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法1考法2考法3考法4对应训练7.(2017·四川德阳)当12≤x≤2时,函数y=-2x+b的图象上至少有一点在函数y=1𝑥的图象的下方,则b的取值范围为(B)A.b22B.b92C.b3D.22b92考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研析考法1考法2考法3考法48.(2017·湖北荆门)已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,等边三角形AOB的边长为6,点C在边OA上,点D在边AB上,且OC=3BD,反比例函数y=(k≠0)的图象恰好经过点C和点D.则k的值为(A)A.81325B.81316C.8135D.8134𝑘𝑥考点·梳理自清考题·体验感悟考法·互动研