不等关系与不等式-(共36张PPT)

第一节不等关系与不等式[小题热身]1．(2017·江西七校联考(一))若a、b是任意实数，且ab，则下列不等式成立的是()A．a2b2B．(13)a(13)bC．lg(a－b)0D.ba1解析：解法一因为函数f(x)＝(13)x在R上是减函数，又ab，所以(13)a(13)b，故选B.解法二取a＝13，b＝－12，则a2＝19，b2＝14，a2b2，lg(a－b)＝lg560，ba01，故排除A，C，D选项，故选B.答案：B2．已知a，b是实数，则“a0且b0”是“a＋b0且ab0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：a0b0⇒a＋b0ab0.又当ab0时，a与b同号，由a＋b0知a0，且b0.答案：C3．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不确定解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－10，a2－10.∴(a1－1)(a2－1)0，即M－N0.∴MN.答案：B4．(2017·长沙一模)对于任意实数a、b、c、d，给出以下命题：①若ab，则1a1b；②若ab，cd，则a－cb－d；③若ab，则ac2bc2；④若ab0，cd，则acbd.其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：①若a0，b0，显然不成立；②若a＝5，b＝3，c＝6，d＝1，显然不成立；③若c＝0，显然不成立；④若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，显然不成立．故选A.答案：A5.12－1________3＋1(填“”或“”)．解析：12－1＝2＋13＋1答案：6．下列不等式中恒成立的是________．①m－3m－5；②5－m3－m；③5m3m；④5＋m5－m.解析：m－3－m＋5＝20，故①恒成立；5－m－3＋m＝20，故②恒成立；5m－3m＝2m，无法判断其符号，故③不恒成立；5＋m－5＋m＝2m，无法判断其符号，故④不恒成立．答案：①②[知识重温]一、必记4●个知识点1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)ab⇔①________；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)ab⇔②________.a－b0a－b02．不等式的基本性质(1)对称性：ab⇔③________；(双向性)(2)传递性：ab，bc⇒④________；(单向性)(3)可加性：ab⇔a＋cb＋c；(双向性)(4)ab，cd⇔⑤________；(单向性)(5)可乘性：ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc；(6)ab0，cd0⇒⑥________；(单向性)(7)乘方法则：ab0⇒anbn(n∈N，n≥1)；(单向性)(8)开方法则：ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)；(单向性)baaca＋cb＋dacbd3．倒数性质设ab0，则ab⇔1a1b.(双向性)4．有关分数的性质若ab0，m0，则(1)bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0)(2)aba＋mb＋m；aba－mb－m(b－m0)二、必明2●个易误点1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，bc⇒ac.2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有ab⇒ac2bc2；若无c≠0这个条件，ab⇒ac2bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．[授课提示：对应学生用书第092页]考向一比较大小[自主练透型][例1](1)(2017·长春模拟)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A．c≥baB．ac≥bC．cbaD．acb(2)若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac[解析](1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝(a－12)2＋340，∴ba，∴c≥ba.(2)方法一易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝log81641，所以ab；bc＝5ln44ln5＝log62510241，所以bc.即cba.方法二对于函数y＝f(x)＝lnxx，y′＝1－lnxx2，易知当xe时，函数f(x)单调递减．因为e345，所以f(3)f(4)f(5)，即cba.[答案](1)A(2)B[悟·技法]比较大小常用的方法(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．注意：含根号的式子作差时一般先乘方再作差．(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．[通·一类]1．若a1a2，b1b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，∵a1a2，b1b2，∴(a1－a2)·(b1－b2)0，即a1b1＋a2b2a1b2＋a2b1.答案：a1b1＋a2b2a1b2＋a2b12．若a＝ln22，b＝ln33，则a________b(填“”或“”)．解析：易知a，b都是正数，ba＝2ln33ln2＝log891，所以ba.答案：考向二不等式是否成立的判断[互动讲练型][例2](1)(2016·北京卷)已知x，y∈R，且xy0，则()A.1x－1y0B．sinx－siny0C.12x－12y0D．lnx＋lny0[解析]函数y＝12x在(0，＋∞)上为减函数，∴当xy0时，12x12y，即12x－12y0，故C正确；函数y＝1x在(0，＋∞)上为减函数，∴由xy0⇒1x1y⇒1x－1y0，故A错误；函数y＝sinx在(0，＋∞)上不单调，当xy0时，不能比较sinx与siny的大小，故B错误；xy0xy1ln(xy)0⇒/lnx＋lny0，故D错误．[答案]C(2)(2016·浙江卷)已知实数a，b，c.()A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2100B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2100C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2100D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2100[解析]利用特值法验证．令a＝3，b＝3，c＝－11.5排除A；令a＝4，b＝－15.5，c＝0，排除B；令a＝11，b＝－10.5，c＝0，排除C，故选D.[答案]D[悟·技法]判断不等式命题真假的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．[通·一类]3．(2017·吉林长春二模)若a，b∈R且ab，则下列不等式恒成立的是()A．a2b2B.ab1C．2a2bD．lg(a－b)0解析：选项A，当a＝－1且b＝－2时，显然满足ab，但不满足a2b2，故错误；选项B，当a＝－1且b＝－2时，显然满足ab，但ab＝12，故错误；选项C，由指数函数的单调性可知ab时，2a2b，故正确；选项D，当a＝－1且b＝－2时，显然满足ab，但lg(a－b)＝lg1＝0，故错误．故选C.答案：C考向三利用不等式的性质求范围[互动讲练型][例3]设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．[解析]法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是得m＋n＝4，n－m＝－2，解得m＝3，n＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10.法二由f－1＝a－b，f1＝a＋b得a＝12[f－1＋f1]，b＝12[f1－f－1]，∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤法三由1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f(－2)＝4a－2b过点A32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.[答案][5,10][悟·技法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[通·一类]4．已知－1x＋y4且2x－y3，则z＝2x－3y的取值范围是________．(答案用区间表示)解析：法一设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，由待定系数法可得a＋b＝2，a－b＝－3，解得a＝－12，b＝52，所以z＝－12(x＋y)＋52(x－y)．又－2－12x＋y12，552x－y152，所以两式相加可得z∈(3,8)．法二作出不等式组－1x＋y4，2x－y3表示的可行域，如图中阴影部分所示．平移直线2x－3y＝0，当相应直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3,1)时，z取得最小值，zmin＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，z取得最大值，zmax＝2×1＋3×2＝8，所以z∈(3,8)．答案：(3,8)