塑性力学讲义-全量理论与增量理论

§4-1建立塑性本构关系的基本要素§4-2广义Hooke定律§4-3全量型本构方程§4-4全量理论的基本方程及边值问题的提法§4-5全量理论的适用范围简单加载定律§4-6卸载定律§4-7Levy—Mises和Prandtl—Reuss流动法则§4-8增量型本构方程§4-9增量理论的基本方程及边值问题的提法§4-10两种理论的比较描述塑性变形规律的理论可分为两大类：一类理论认为在塑性状态下仍是应力和应变全量之间的关系即全量理论；另一类理论认为在塑性状态下是塑性应变增量（或应变率和应力及应力增量（应力率）之间的关系即增量理论或流动理论。为了建立塑性本构关系，需要考虑三个要素：1、初始屈服条件；§4-1建立塑性本构关系的基本要素2、与初始屈服及后继加载面相关连的某一流动法则。即要有一个应力和应变（或它们的增量）间的关系，此关系包括方向关系和分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关系；3、确定一种描述材料强化（硬化）特性的强化条件，即加载函数。有了这个条件才能确定应力、应变或它们的增量之间的定量关系。弹性范围内，广义Hooke定律：将应力张量和应变张量分解为球张量和偏张量部分，则Hooke定律改写为前面是一个独立式子，后者是五个独立式子（）。§4-2广义Hooke定律yzyzzyxxGE1,1zxzxxzyyGE1,1xyxyyxzzGE1,1ijijiiiiSGeE21,210iiS在弹性范围内，应力和应变之间的方向关系是应力和应变主轴重合，分配关系是应变偏张量各分量和应力偏张量各分量成比例。为便于推广到塑性状态，并与塑性本构方程的写法一致，将改写为（因，而塑性状态）当应力从加载面卸载时，也服从广义Hooke定律，但是不能写成全量形式，只能写成增量形式。ijijSGe21iiijiiijGSe3,23iiiGE125.0ijijiiiidSGdedEd21,21由于在塑性变形状态应力和应变不存在一一对应的关系。因此，必须用增量形式来表示它们之间的关系。只有在知道了应力或应变历史后，才可能沿加载路径积分得出全量的关系。由此可见，应力与应变的全量关系必然与加载的路径有关，但全量理论企图直接建立用全量形式表示的，与加载路径无关的本构关系。所以全量理论一般说来是不正确的。不过，从理论上来讲，沿路径积分总是可能的。但要在积分结果中引出明确的§4-3全量型本构方程应力—应变的全量关系，而又不包含历史的因素，只有在某些特殊加载历史下才有可能因此，这种关系只能在特定条件下应用。一、全量理论的基本假设1、体积的改变是弹性的，且与静水应力成正比，而塑性变形时体积不可压缩。2、应变偏张量与应力偏张量相似且同轴,即，0,21PiiiieEijijSe3、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何，对于同一种材料来说，应力强度是应变强度的确定函数，是与Mises条件相应的。（，单拉时）全量型塑性本构方程为（其中）ii1iiE1EijijiijijieeSS32,23iiijiiijiiiiSeE2321二、依留申小弹塑性形变理论1943年，依留申考虑了与弹性变形同量级的塑性变形，给出了微小弹塑性变形下的应力—应变关系在弹性阶段：（G即剪切弹性模量）在塑性阶段：（即）上式自乘求和后开方得：GSeijij2GSeijij2G21iiiiklklijijJJeeSSG32433122222以代入得到则这是全量理论的另一种表达形式。ijijijijijijiijijieeJSSJeeSS21,21,32,23225.01iiE13iiGijijeGS12例4-1、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若材料为理想弹塑性，且。设拉力为P，扭矩为M，筒的平均半径为r，壁厚为t。于是筒内应力为均匀应力状态，有其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转，在的比值保持不变条件下进入塑性状态到，用全量理论求筒中的应力。5.0trMrtPzz22,2GEssss,解：（一）由全量理论（1）第二式可以写为其中第一式，且，故或iiiiiiijiiijESe21,23mmK3213EKijije,5.0ijiiijS23ijiiijS32又因为其展开式为又由于故（2）（二）对于理想塑性材料：（3）将（2）、（3）代入式（1），得到zzzzmzzSS,3231iiii3,2121,2121zzzr2231isi（4）（三）在简单加载条件下，材料进入塑性时各应变分量同时达到屈服，即，又分别代入（4）得到2222313,31ssss,GGGGssssss313,3ssssssssssssGGGGGG408.06333133707.02333132222例4-2、如图所示，简单拉伸下材料的应力应变关系曲线可用幂指数硬化模型表示为式中。拉伸加载至，然后卸载并方向加载，针对下面两种情况，求出方向加载中的应力—应变关系。（1）随动强化；（2）等向强化。002.0PsnPssmE03.0,300,200,200nMPamGPaEMPas310/MPa/200100123随动强化等向强化解：（1）随动强化时，相应的应力和应变分别为塑性模量的表达式为在时的背应力为此时，加载条件变为002.0P003232.0,5.246MPa1nPPmnE002.0PMPamdmnbnPPnP5.46002.001002.0002005.465.46sf当应力从开始卸载，，直到反向加载到，，重新进入屈服。在此过程中塑性应变保持不变为故在时，对应的应变为当应力，将产生压缩塑性变形，在此阶段，塑性应变增量为其绝对值是，累积塑性应变为MPa5.2460fMPa5.1530f002.0PMPa5.15300123.0003232.0E0)002.0(PMPa5.153P002.0PPPd004.0002.0002.0背应力应为代入加载条件得：因此，导出的应力—应变关系为3.01002.0004.030093004.05.46PPnPdmnbP0sb3.0004.0300107Psb3.01300107004.0200000Pe（2）等向强化当应力从开始减小到材料重新进入屈服。在此过程中塑性应变保持不变为，仅产生弹性应变，因此，在时，对应的应变为由此可得强化（硬化）函数为当应力，材料进入压缩硬化，等向硬化的加载条件为MPa5.246MPa5.246002.0PMPa5.246000767.0003232.0EnPsPmk)(MPa5.246于是，应力—应变关系为nPsPmdk)(3.01300200004.0200000Pe全量理论的边值问题及解法设在物体V内给定体力，在应力边界上给定面力，在位移边界上给定，要求物体内部各点的应力、应变、位移。确定这些未知量的基本方程组有：1）2）§4-4全量理论的基本方程及边值问题的提法ifTSifuSiuijijiu0,jiijfijjiijuu,,213），4）5）求解方法和弹性问题一样，可以用两种基本方法：按位移求解或按应力求解。在全量理论适用并按位移求解弹塑性问题时，依留申提出的弹性解法显得很方便。kkkkijiiijEeS2132ijijiSS23ijijiee32jiijfliiuu将代入用位移表示的平衡微分方程得：其中或在弹性状态时，上式右端等于零，可得到弹性解。将它作为第一次近似解，代入上式右端作为已知项，又可以解出第二次近似解。重复以上过程，可得出所要求精度内接近实际的解。在小变形情况下，可以证明解能够很快收敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果。ijijeGS12023,,,ijijjjikikfeGGuuGK213EKjijijjikikeGfGuuGK,,,23目前已经证明，全量理论在小变形并且是简单加载的条件下与实验结果接近，可以证明是正确的。一、简单加载在简单加载的情况下，物体内每一点的应力和应变的主方向都保持不变。其主值之比也不改变。在应力空间中，应力点的轨迹是直线。依留申在1943年继续解决了在什么条件§4-5全量理论的适用范围简单加载定律0ijijt下才能保持物体内部各点都处于简单加载情况。提出了一组充分条件：1、外载按比例增长，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件；2、材料的体积不可压缩，即；3、应力强度与应变强度的关系。二、偏离简单加载在实际应用中，全量理论的适用范围不限于简单加载，这个范围的确定以及这个范围内应用全量理论所引起的误差，都尚需要作进一步的研究。在这一范围内的加载路径称为偏离简单加载。0,5.0iimiiA卸载定律：卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变减去以卸载时的荷载改变量为假想荷载按弹性计算所得之应力或应变（即卸载过程中应力或应变的改变量）。使用上述计算方法时必须注意两点：（1）卸载过程必须是简单卸载，即卸载过程中各点的各应力分量是按比例减少的。（2）卸载过程中不发生第二次塑性变形，即卸载不应该引起应力改变符号而达到新的屈服。§4-6卸载定律PPP~在塑性变形阶段，应力和应变之间没有一一对应的全量关系，由于变形的不可逆性，故塑性区的变形不仅取决于最终状态的应力，而且和加载路径有关。但在某一给定状态下，有一个应力增量，相应的必有唯一的应变增量。因此在一般塑性变形条件下，只能建立应力与应变增量之间的关系，即增量理论。§4-7Levy—Mises流动法则和Prandtl—Reuss流动法则一、Levy—Mises流动法则适用于刚塑性体。其中比例系数取决于质点的位置和荷载水平。此假设首先由圣维南提出应变增量主轴和应力主轴重合的假设，然后Levy进一步提出了上面的分配关系。1913年Mises又独立地提出了相同的关系式。其本构方程为：0dSddijijijiiijS23dd二、Prandtl—Reuss流动法则适用于弹塑性体。1924年Prandtl将Levy—Mises关系式推广应用于塑性平面应变问题。考虑了塑性状态的变形之中的弹性变形，且认为弹性变形服从广义Hooke定律。而塑性变形部分，则假设塑性应变增量张量和应力偏张量相似且同轴。1930年，Reuss推广到三维问题。其本构方程为：0dSddijPijiiiiijijijdEdSddSGde2121例4-2、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若材料为理想弹塑性，且。设拉力为P，扭矩为M，筒的平均半径为r，壁厚为t。于是筒内应力为均匀应力状态，有其余应力分量为零。现按照下列三种加载路径（如图)，试用P