3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(3课时)

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)高一数学必修4第三章三角恒等变换两角和与差的余弦公式有哪些结构特征？()Ccoscoscossinsin注意：1.简记“CCSS，符号相反”2.公式中的α,β是任意角。)(Ccos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ回顾：练习:1、cos27°cos57°+sin27°sin57°2、cos2150-sin2150),2(,32sin33cos(,)42，)cos(3、已知，，求的值。323235-2712探索新知一sin()?思考：如何求sincos[()]2coscossinsin22sincoscossincos[()]2sin75cos(4530)cos45cos30sin45sin30624sin)sincoscossin(2、()S上述公式就是两角和的正弦公式，记作。探索新知二sin()?－那()S上述公式就是两角差的正弦公式，记作。sin)sincoscossin(3、sincoscossinsin[()]sincos()sin()cos有将上式中以代得sin由sincoscossinsin)sincoscossin(sincoscossinsin两角和与差的正弦公式()S()S公式特征：1、“SCSC,符号依然”2、公式中的α,β是任意角。探索新知二(C(-))(C(+))cos(-)=coscos+sinsincos(+)=coscos-sinsin(S(+))(S(-))sin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos-cossin思考:两角和与差的正切公式是怎样的呢?cossintan:提示小结探索新知二用任意角的正切表示的公式的推导:,tan()tan()及sincos+cossincoscos-sinsinsin(+)cos(+)coscos0当时，coscos分子分母同时除以tan()tan+tantan(+)=1-tantan()记：+T4、sintan,cos由(这里有什么要求?))(2Zkk(又有什么要求?))(22Zkkk探索新知二上式中以代得tanα+tanβtan(α+β)=1-tanαtanβtantan()tan[()]1tantan()tanα-tanβ=1+tanαtanβtanα-tanβ∴tan(α-β)=1+tanαtanβ()记-T两角和与差的正切公式：)(T探索新知二tanαtanβtan(αβ)=1tan++-αtanβtanαtanβtan(αβ)=1tan--+αtanβ注意：1必须在定义域范围内使用上述公式。2注意公式的结构，尤其是符号。即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。如:已知tan=2,求不能用tan()2()T两角和与差的正切公式分子同号，分母异号。:sin()sincoscossincos()coscossinsintantantan()1tantan①两角和与差的正弦、余弦、正切要点梳理.1不查表求sin105、sin15、tan15例：sinsinsincos45cos60sin4532122222624（1）105（6045）=60解：62sin4（2）15例题剖析解：tan15=tan(4530)=31331263323633313ooootan45-tan301+tan45tan30例题剖析例题剖析3sin,sin(),54cos(),tan42()4a已知是第四象限的角，例求：的值。,3解：由sin=-是第四象限的角，得522354cos1sin1(),5sin3tancos4所以)sincoscossin444于是有sin(242372();252510例题剖析)coscossinsin444cos(242372();252510tantantan14tan()41tan1tantan4314731()4cos4cossin4;(2)cos20cos70sin20sin70;1tan15(3).tan153。。。。。。。。。。利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1)sin7例：227221-例题剖析cos4cossin41sin(4)sin30;2。。。。。。。解：（1)由公式得：sin722722722(2)cos20cos70sin20sin70cos(2070)cos900。。。。。。。1tan15tan45tan15(3)tan15tan45tan15tan(4515)tan603。。。。。。。。。1-1-例题剖析sin9cos15sin6cos9sin15sin6例题2：求值：2223tan,tan2370xx例题：已知为方程的两实根，求sin(+)-3sin(+)cos(+)-3cos(+)的值3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)高一数学必修4第三章三角恒等变换要点梳理复习巩固基本公式：sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(sin)sincoscossin(sincoscossinsin要点梳理基本公式：tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(1、化简：(1)tan(α+β)(1-tanαtanβ)tan(α-β)+tanβ(2)1-tan(α-β)tanβ答案:(1)tanα+tanβ(2)tanα课堂练习课堂练习2.求下列各式的值：(1)75tan175tan1(2)tan17+tan28+tan17tan28解：1原式=3120tan)7545tan(75tan45tan175tan45tan2∵28tan17tan128tan17tan)2817tan(∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17tan28)=1tan17tan28∴原式=1tan17tan28+tan17tan28=1课堂练习3、△ABC中，求证tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.证明：,tantan1tantanBABA∴tanA+tanB=∵tanA、tanB、tanC都有意义，∴△ABC中没有直角，∵tan(A+B)==tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C)=–tanC+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B)∴tanAtanB≠1.已知π4α3π4，0βπ4，cosπ4－α＝35，sin3π4＋β＝513，求sin()α＋β的值．分析：3π4＋β－π4－α＝π2＋()α＋β.解析：∵π4α3π4，∴－π2π4－α0，∵cosπ4－α＝35，∴sinπ4－α＝－45；∵0βπ4，∴3π43π4＋βπ，∵sin3π4＋β＝513，∴cos3π4＋β＝－1213；4.利用公式求值课堂练习∴cosπ2＋()α＋β＝cos3π4＋β－π4－α＝cos3π4＋βcosπ4－α＋sin3π4＋βsinπ4－α＝－1213×35＋513×－45＝－5665，故得－sin()α＋β＝－5665，即sin()α＋β＝5665.点评：利用三角函数化简求值时，首先分析已知角与特殊角之间的关系，然后再利用相应的和(差)公式求解．这样处理的目的在于能较好地借助于已知角进行运算，从而可以简化运算步骤．课堂练习(1)已知tanα＝2，tanβ＝3，且α，β都是锐角，求α＋β；解析：(1)tan()α＋β＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2＋31－2×3＝－1.∵α，β都是锐角，∴0α＋βπ，由上式知α＋β＝3π4；课堂练习5.利用公式解决给值求角问题练习.已知α，β∈，tanα与tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，求α＋β.－π2，π23分析：本题考查三角函数公式在方程中的应用问题．利用韦达定理求得根与系数的关系代入求解是常用方法之一．课堂练习课堂练习解析：由韦达定理有tanα＋tanβ＝－33tanα·tanβ＝4，∴tanα0，tanβ0.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－331－4＝3，∵α，β∈－π2，π2，且tanα0，tanβ0，∴α，β∈－π2，0，∴－πα＋β0，∴α＋β＝－2π3.已知cosα＝17，cos()α－β＝1314，且0βαπ2，(1)求tanα的值；(2)求β.分析：本题中β＝α－()α－β.解析：(1)∵cosα＝17，0βαπ2，∴sinα＝437，∴tanα＝sinαcosα＝43；5.利用公式解决给值求角问题课堂练习(2)∵0βαπ2，∴0α－βπ2，∵cos()α－β＝1314，∴sin()α－β＝3314，由β＝α－()α－β，得cosβ＝cos[]α－()α－β＝cosαcos()α－β＋sinαsin()α－β＝17×1314＋437×3314＝497×14＝12，∵0βπ2，所以β＝π3.课堂练习跟踪训练课堂练习变式:已知α、β均为锐角，且sinα＝55，cosβ＝1010，求α－β的值．思路分析：可先求cos(α－β)的值，再求角α－β.解：∵α、β均为锐角，且sinα＝55，cosβ＝1010，∴cosα＝255，sinβ＝31010.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.又∵0απ2，0βπ2.∴－π2α－βπ2.又∵sinαsinβ，∴αβ，即α－β0.∴－π2α－β0.∴α－β＝－π4.点评：解答此类问题分三步：第一步，确定角所在的范围；第二步，求角的某一个三角函数值；第三步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数值的一个单调区间内．点评小结1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、推导及应用;tanα+tanβtan(α+β)=1-tanαtanβtanα-tanβtan(α-β)=1+tanαtanβsin)sincoscossin(sin)sincoscossin(cos()coscossinsincos()coscoscoscos变形：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-