构造凸函数与不等式证明

构造凸函数与不等式证明董永春(成都戴氏高考中考肖家河总校数学组,四川成都，611000)0引言近年来，一些常见的具有条件1abc与11niia的轮换、对称不等式，由于和谐之美，且每一变量相等时不等式取等号这一共性，被很多数学爱好者推广，在很多期刊都可见到，凸函数性质的文章也很多，笔者发现大多是有重叠的，如果一再的推广这类不等式已经意义不大。笔者[2][3][4][5]前期也进行了一些研究与推广，经过总结，发现变元和为定值，且特征函数的二阶导存在，就可以借助凸函数理论进行简单的机械证明。这样我们可以把目光投向别的不等式。本文将分三部分，先给出一些著名不等式，再借助凸函数理论证明一系列的竞赛题，力图解决更一般的不等式族，最后从变元个数、次数进行加权推广。1凸函数性质的有关准备文[１][8]用凸函数理论证明了詹生不等式（1），算术-几何-调和平均不等式（2）（3），杨氏(Young)不等式（5），霍尔德（Holder-Cauchy）不等式（6）,柯西-施瓦兹（Cauchy-Schwartz）不等式等一系列著名不等式。本文不打算给出文[１][9]的证明，只给出一些研究结论：（1）非负实数x1，x2，…xn满足niix1=s0,若f(x)在(0,s)是严凸函数,则F(ns，ns，ns，…，ns)F（x1，x2，…xn）F（n，0，0，…,0）若为严凹则不等号反向.（2）非负实数x1，x2，…xn，22212......12nxxxxxxnnn，（3）1...12(...)1211...1xxxnnnxxnxxn（4）12121122......npppnnnxxxpxpxpx（5）12121122ppxxpxpx（令11pp，21pq）得11pqababpq（6）11111nnnpqpqiiiiiiiabab（,1pq，111pq）（7）222111()()()nnniiiiiiiabab2利用凸函数性质证明不等式例1设,abR，且1ab，求证:11(1)(1)9ab（第3届加拿大数学竞赛题）分析构造函数1()1fxx，32()fxx0，知()fx为凸函数，1112(1)(1)(1)2abab例2已知ix0,12...1,nxxx求证：22212121...1111nnxxxxxxn（1998《数学通报》问题845）分析构造特征函数2()1xfxx，222()(1)xxfxx，32()(1)fxx0,则2221212...1111nnxxxxnxxxx=11n(1niixxn,下同)例3若ia0,满足1niias，求证：11niiiansan（1976年英国数学竞赛题）分析构造特征函数()xfxsx,2()()sfxsx,42()()()ssxfxsx0,则1niiiaansasa=1nn例4若ia0,满足12niiaa,求证：1121niiiaaan（1982年西德数学竞赛题）分析构造特征函数()2xfxax，此不等式与例2、例3无本质区别，例5a,b,c为满足a+b+c=1的非负实数，则32abcbaccababcbaccab（2008年加拿大数学竞赛题）分析构造函数22()xxfxxx=11xx，22()(1)fxx，44(1)()0(1)xfxx即可。例6a,b,c为满足a+b+c=1的非负实数，求证：（1）2221112710111abc，（2）222910111abcabc，（3）333364651111abcdabcd（安振平系列）分析分别构造函数21()1fxx，2()1xhxx，3()1xkxx，则222()(1)xfxx，42242(321)()(1)xxfxx=2224146[()]39(1)xx（可把此x看成平均）知()fx0.2232(1)()(1)xxgxx0,23336(2)()(1)xxhxx0即可,此证法更简洁、明了。例81xyz，则32xyzxyzyxzzxy（2008年德国数学竞赛题）分析构造函数2()xfxxx，则，23(451)()4(1)(1)xxfxxxxx0即可。例93abc，1,nnN，则11134222nnnnnnabbcac分析构造函数1()2nnfxxx即可。例10已知a、b、c、d、e为实数，且2222216abcde，求e的最大值分析构造函数2()fxx，()0fx，知()fx为凸函数，2222244abcdabcd，易知e的最大值为abcde时取得。3利用凸函数理论推广、加强不等式以上不等式如有需要，均可以从变元个数、变元次数、参数个数等方面进行加权推广，以笔者前期的拙作[2][3][4][5]为例，进行演示。例8a,b,c为满足a+b+c=1的非负实数，则2221cba+2221acb+2221abc15可推广为：（1）若ia0,niia1=1，2322211aaa+2423221aaa+…+222121aaan2)1(2nn（变元个数）（2）设1a,2a,.....maR,且miia1=1,nN则32111aaaan+43212aaaan+…+211aaaamnm121nnmm，（变元次数）（3）设1a,2a,.....maR,且miia1=1,nN则32111aaaan+43212aaaan+…+211aaaamnm)1()1(1nnmm（加权推广）（4）设1a,2a,.....ma，，R,且miia1=1,nN则3211aaaaln+4322aaaaln+…+21aaaalmnm211)(nllnmnn证明过程借助凸函数理论，参见文[2][3][4][5]。4结束语以上一系列不等式，共性就是轮换、对称，且变量之和为定值，且特征函数的二阶导存在，完全可以简化证明，进而去探索不可构造函数的循环不等式与其他不等式。参考文献:[1]谢平民．凸函数与不等式[M]．初等数学丛论4，1990(10).[2]董永春，对几个代数不等式研讨的再探讨[J]．中学数学教学参考，2011(4).[3]董永春，关于一对姊妹不等式的再思考[J]．中学数学教学参考，2011(1-2)[4]董永春，对一个猜想的否定[J]．中学数学教学参考，2010(1-2)[5]董永春，对一个猜想的改进[J]，中学数学教学参考，2010，（4）[6]陈文灯，黄先开，数学复习指南（理工类）[M]．北京：世界图书出版公司北京公司．2004；349-351[7]倪雪华，函数的凹凸性在不等式中的应用[J]．高等函授学报（自然科学版），2011，24(6):83-84.[8]王思聪，一个蕴含诸多不等式的凸函数的命题[J]贵州教育学院学报，2008,19（3）：8-10