线性代数第三章向量空间-(自考经管类原创)

第三章向量空间向量空间向量及线性运算线性相关、线性无关向量组的秩向量空间n维向量线性组合极大线性无关组向量组的秩知识结构23.1n维向量概念及其线性运算3CD(,)Aabxoy若将一个向量的起点放在原点，终点为平面上的点,则向量可表示为。OA(,)Aab(,)OAab我们可将平面中的2维向量推广n维到空间中.4向量的维数指的是向量中的分量个数。例：是一个三维向量，是一个四维向量123(,,)aaa1234(,,,)aaaa一般小写黑体字母来表示向量。,,,,xy(1,2,,)in定义3.1.1：n个有次序的数12,,,naaa所组成的有序数组12,,,naaa称为一个n维向量，数称为该向量的第i个分量ia一、n维向量及其线性运算5向量可以写成一行：12,,,naaa有时也写成一列：12naaa称为行向量。称为列向量。列向量也可以写成的形式。12,,,Tnaaa注意1.行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；2.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；3.当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.例：是两个不同的向量。1(1,2)2与7定义3.1.2:所有分量都是零的n维向量称为n维零向量，记为零向量、负向量、相等向量的定义及向量的相关运算(0,0,,0).O注：不同维数的零向量不相等。0(0,0,0)0(0,0,00).与，不相等0(0,0,0)0(0,0,00)，称向量为的负向量，记为12,,,naaa定义3.1.3：如果n维向量与n维向量的对应分量相等,即12,,,naaa12,,,nbbb1,2,,iiabin如和就不相等.(0,0,0,0).O(0,0,0)O则称向量81122,,,nnababab向量减法：1122()(,,,)nnababab定义3.1.5(数与向量的乘法)：12,,,naaa1212(,,,),,,nnkkaaakakaka定义3.1.4(向量的加法)：12,,,nbbb12(,,,)naaa9(1)(2)()()(3)(4)OOkkklklkkllk)8()7()()()6(1)5(向量的运算律：注：（1）对任意的向量,存在唯一的零向量,o使得O（2）对任意的向量,存在唯一的负向量,使得()O（4）如果0,则0O或0;(1);.OOO（3）10求例1设(2,1,3)(1,3,6)(2,1,4)23解232(2,1,3)3(1,3,6)(2,1,4)=(4,2,6)+(3,9,18)(2,1,4)=(1,12,20)的例2设(1,0,2,3)(4,1,2,3)求满足23O解1(2)31[2(1,0,2,3)(4,1,2,3)]31[(2,0,4,6)(4,1,2,3)]31(2,,2,3)3111122mmkkk为12,,,m的一个线性组合。是一组常数，则称定义3.1.6设12,,,m是一组n维向量，12,,,mkkk称为该线性组合的组合系数。12,,,mkkk常数注:若一n维向量可以表示成1122mmkkk称为该线性组合的组合系数或表出系数.12,,,m的线性组合.或称是则称1.向量的线性组合二、向量的线性组合12,,,mkkk常数12,,,m可由线性表出.12注：零向量可以用任意一组同维数的向量线性表示12000mO此式称为零向量的平凡表达式向量组的：若干个同维数的向量所组成的集合。例3:设111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa记为：12:,,,mR或12={,,,}mR13将A按行分块可得到一个n维行向量组:12jjjmjaaa(1,2,)jn(1,2,,)im其中12(,,)iiiinaaa将A按列分块可得到一个m维列向量组12=(,,,)nA12=mA14n维标准单位向量组:将第i个分量为1，其余分量为0的向量记为：(0,0,1,0,0)i1,2,,,in任意一个n维向量都可以表示成这n个标准单位向量的线性组合12(,,,)naaa如若，则1122.nnaaa2.向量线性表出关系的几何解释例4(1,2,3)与平行，求a可用线性表示k即共线（或平行）.以任意二维非零向量为例，,与(2,4,)a153.线性组合的矩阵表示法例：若12(,,,)Tnbbb111211(,,,),,Tnaaa12(,,,)Tmmmnmaaa此时(3.1)可写成11112211211222221122mmmmnnnmmnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(3.2)此时存在m个数12,,,mkkk使得(3.1)成立当且仅当(3.2)有解。此时求的值就转化到了求(3.2)的解上。线性表示n维向量可用m个n维向量组12,,,m存在m个数使得(3.1)12,,,mxxx1122.mmxxx12,,,mkkk16构造矩阵12=(,,,)nmmA，并令12(,,,).Tmxxxx此时(3.2)可写为：12112212(,,,).mmmmxxxxxAxx由此可得：1.若(3.2)有惟一解，则可由12,,,m惟一线性表出。2.若(3.2)有无穷解，则可由12,,,m不惟一线性表出。3.若(3.2)无解，则不能由12,,,m线性表出。注：线性方程组的方程个数就是向量的维数n,线性方程组的未知量个数就是向量的个数m.174.表出系数的求法(列摆行变换)对增广矩阵进行列摆行变换得例5能否表示成1(1,2,3),T2(0,1,4)T3(2,3,6)T的线性组合？(1,1,5)T其中123(,,)A123102-1(,)(,,,)21313465A102-101-130408解设线性方程组为即Ax112233xxx18102-101-13004-4102-101-13001-110010102001-1=(,)Td1231,2,1.xxx故可惟一的表示成123,,的线性组合，且1232故的同解方程组Txd的解是112233xxx19例6(4,5,5)能否表示成的线性组合？2(1,1,4),3(3,3,2)1(1,2,3),对增广矩阵进行列摆行变换得1231-134(,)(,,,)21353425TTTTTA1-13403-3-307-7-71-13401-1-101-1-11-13401-1-10000102301-1-10000解设线性方程组为112233.TTTTxxx20方程的同解方程组为1323321xxxx任取数则123(32)(1),kk,k使得3,xk由此说明123,,用线性表出的方法有无数多种。小结1122mmkkk列摆行变换223.2线性相关与线性无关0,,,,,,,:22112121mmmmkkkkkkA使全为零的数如果存在不给定向量组提问:“否则,线性无关”是什么意思?1.定义一、线性相关、线性无关则称向量组是线性相关的,A.0,0,,,,2211121成立才有时则只有当线性无关若nnnn否则称它线性无关．12,,,mkkk称为相关系数3)单个向量线性相关O1212,,()线性相关向量共线平行12k4)向量组含两个非零向量时:注1)对于任意一个向量组，不是线性相关就是线性无关;2)任意一个含零向量的向量组，必线性相关;单个向量线性相关O5)向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表出．m,,,212mm,,,211m6)向量组（当时）线性无关的充分必要条件是中任意一个向量都不能由其余个向量线性表出．m,,,212mm,,,211m注:A线性相关未必A中任何向量可由其余向量线性表出.如12(1,0),(0,0)例1n维标准单位向量组是否线性相关？12,,,,in其中(0,0,1,0,,0),1,2,,iin解：若1122nnkkkO12(,,,)(0,0,,0)nkkk则所以线性无关.12,,,,in例2向量组1(2,3,1),2(1,2,1),3(3,2,1)是否线性相关？解设112233xxxO，即123(2,3,1)(1,2,1)(3,2,1)(0,0,0).xxx整理可得方程组12312312323032200xxxxxxxxx其系数行列式21332220.112此时方程组只有零解，故123,,线性无关.例3若123,,线性无关，证明以下向量组线性无关:123213312,,.112233.kkkO证:设将已知条件带入得123213312()()().kkkO由线性无关得123,,2313120,0,0.kkkkkk即231132123()()().kkkkkkO解得1230.kkk从而可证得线性无关.123,,判断m个n维列向量：11112212221212=,=,,=.mmmnnnmaaaaaaaaa的线性相关性.由定义知，m,,,21线性相关存在m个不全为零的数12,,,,mkkk使得1122mmkkkOm元齐次线性方程组二、求相关系数的方法111122121122221122000mmmmnnnmmaxaxaxaxaxaxaxaxax有非零解.即0Ax有非零解,其中12(,,,)nmmA类似地,m个n维行向量线性相关m,,,21m个n维列向量21,,,mTTT线性相关齐次线性方程组0Ax有非零解,其中12(,,,)mTTTnmA求出的非零解即为所求的相关系数12(,,,)mxxx12(,,,)mkkk()rAm.)(;),,,(,,,2121mARmAmm必要条件是向量组线性无关的充分于向量个数的秩小矩阵条件是它所构成的线性相关的充分必要向量组定理10.,,,0;,,,,,,212121nnnAAnn是线性无关的充要条件条件是线性相关的充要向量维个推论1推论2m个n维向量，当mn时，一定线性相关.12,,,m例4证明:123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)线性无关.证:设112233