第二章习题解答第二版

1习题22222-1化简以下各信号的表达式。（1）(3)tetdtδ∞−∞−∫（2）sin()()ttdttπδ∞−∞∫（3）(1)(1)ttdtεδ∞−∞+−∫（4）2[()()]tettdtδδ∞−−∞′+∫（5）[cos(2)()]dttdtε（6）[()]tdetdtδ−解：(1)3e(3)detttδ∞−∞−=∫（2）sin()()ttdttπδ∞−∞∫sin()()sin(0)cttdtcπδππ∞−∞===∫（3）dttt)1()1(−+∫∞∞−δε=1)1()2(=−∫∞∞−dttδε（4）2'2'2'2'02e()()de()e()de()dee12130ttttttttttttttδδδδδ∞∞−−−−∞−∞∞−−−∞⎡⎤⎡⎤+=+⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+=−+=+=⎣⎦=∫∫∫(5)[]dcos(2)()2sin(2)()cos(2)()2sin(2)()()dttttttttttεεδεδ=−+=−+（6）)]([tedtdtδ−=)()]()([)()()('''ttettetetettttδδδδδδ=++−=+−−−−−2-2求题2.2图示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式），并画出幅度频谱。O()xttTT−2T2T−2A2A−题2.2图解：（一）定义式求解三角形式：信号奇对称00kaa==2()()()()()()()0221110221111122sinsinsin220coscos22cos222021cos1cos2TTTTkAAbxtktdtktdtktdtTTTkTAAktktTkTkkTAAAkkkkωωωωωωωπωπππ−−⎡⎤⎛⎞==−+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎡⎤⎛⎞⎢⎥⎜⎟⎜⎟=−=−⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎣⎦⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎡⎤⎛⎞=−=−=⎡⎤⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝⎠⎣⎦∫∫∫()11kπ⎡⎤−−⎣⎦()()()()()()()()()0111111111cossinsin1cossin11sinkkkkkkkkxtaaktbktbktAkktkAktkωωωπωπωπ∞=∞=∞=∞==++==−⎡⎤⎣⎦⎡⎤=−−⎣⎦∑∑∑∑指数形式：()()()()1221cos2112112kkkkkkjXajbbjAkkjAkjAkππππ=−=−−=−⎡⎤⎣⎦−⎡⎤=−−⎣⎦⎡⎤=−−⎣⎦()()()()()111110220222021011111222sincos201cos22cos12TTjktjktjktTTkTjktjktTAAXxtedtedtedtTTAeedtTjAktdtTTjAktkTkTjAkjAkkωωωωωωωωωπππ−−−−−−⎡⎤⎛⎞==−+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦⎡⎤−=⎢⎥⎣⎦⎛⎞−⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎡⎤−⎛⎞=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦=−⎡⎤⎣⎦=∫∫∫∫∫()112kjAkπ⎡⎤−−⎣⎦3（二）利用一个周期的傅里叶变换求傅里叶级数的系数。①取(2,2)TT−区间的()xt构成单周期信号，其傅里叶变换()()2210220()()dsindcos(cos1)2TTjtTTXxtetjAttAjATjtωωωωωωω−−==−==−∫∫()()001021cos12cos12sin()20,,(kkkTjAXXTkTjAkkjAkkkjAkkωωωωωπππππ=⎡⎤⎛⎞==−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦=−⎡⎤⎣⎦=−⎧⎪=⎨−⎪⎩（为偶数）为奇数）则傅里叶级数为：0()jktkjAxtekωπ=−∑为奇数②利用时域微积分性质，()xt′的波形如图1所示。图1(A)(-A)40(/2)0(/2)1()[()()]2[1cos()]TjktkTTjkXAtAtedtTAkTωωδδπ++−−=−−=−∫)]cos(1[2)]cos(1[0πππωkkjAkTjkAXk−−=−=③利用时域移位性质求解。图2参考图2，有1()()24ATxtxt=−+−404102TTAXAdtT−=−+=∫242sincsinc2222TkjkjTkAkAkXeeππππ−×−⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠当k为偶数时0kX=；当k为奇数时kAXjkπ=−。)(tx是奇对称奇谐函数，傅里叶级数中只含有奇次谐波。2-3如图2.3所示的周期单位冲激序列()()TkttkTδδ∞=−∞=−∑，求其指数形式和三角形式的傅里叶级数。O()Ttδt......T-T-2T2T(1)题2.3图解：（1）因为周期冲激序列是偶函数，则222()sin()0TTkbtkTktdtTδω−=−=∫A501()TaxtdtT=∫=2211()TTtdtTTδ−=∫,222()cos()TTkatkTktdtTδω−=−=∫2T.其三角形式的傅里叶级数为：()()()()01111112cossincos()kkkkxtaaktbktktTTωωω∞∞===++=+∑∑（2）①定义法：()()1122111TjktjktTkTXxtedttedtTTTωωδ−−−===∫∫②利用三角式系数()112kkkXajbT=−=③取(2,2)TT−区间的()xt构成单周期信号，其傅里叶变换()22122()()dd1TTjtjtTTXxtettetωωωδ−−−−===∫∫，()1111kkXXTTωωω===指数形式的傅里叶级数为：11()jktkxteTω∞=−∞=∑2-4如图2-34所示的周期信号，试求三角形式和指数形式的傅里叶级数表示形式。O()xttTT−2T2T−1图2-34题2.4图解：（1）三角形式表达式中，4121200==∫tdtTTaT，)1(cos1cos4)cos(22222012120−===∫∫ππωωkktdtktTdttktTTaTTn，ππωωkkdttktTtdtktTTbTTn)cos()sin(4sin222012120−===∫∫，即三角形式的表达式为：)]sin()cos()cos()cos([41)(11122tkkktkkktxkωππωππ−+=∑∞=。（2）傅里叶指数表达式中，dtteTdtteTTXTtjTtjn∫∫−−==20220221ωω=222221)221(ππππkekjkjk−+−，6tjjkktjknekekjkeXtxωπωπππ]21)221[()(2222−+==−∞−∞=∞−∞=∑∑。2-5若周期信号1()xt和2()xt的波形如题2.5图所示。1()xt的参数为τ=0.5μs，T=1μs，A=1v；2()xt的参数为τ=1.5μs，T=3μs，A=3v，分别求：O()xttTT−A2τ2τ−题2.5图（1）1()xt的谱线间隔和带宽；（2）2()xt的谱线间隔和带宽；（3）1()xt和2()xt的基波幅度之比；（4）1()xt和2()xt的三次谐波幅度之比。解：频谱如图示Sa()kAkXTTτπτ=（1）谱线间隔为基波角频率11622rad/s,1MHz110fTππω−===×带宽622rad/s,2MHz0.510wwBfππτ−===×（2）116221rad/s,MHz3103fTππω−===×6222rad/s,MHz1.5103wwBfππτ−===×（3）11111111112222222222Sa()Sa()213Sa()Sa()2kkAkAkXTTTAAkAkXATTTτπττπτπττπ====31||||2111=XX（4）31||||2313=XX2-6求题2.6图所示半波余弦信号的傅里叶级数。若E=10v，f=10kHz，试画出幅度频谱。τπ2τπ2−ωOkX1TAτ1ω1ω7O()xttET-TT/4-T/4......题2.6图解：由图可知，该函数是偶函数，傅里叶三角级数表达式中，只有直流分量系数0a和余弦分量系数ka，正弦分量系数kb为0。)2cos()(tTEtxπ=，则ππππEtTTTdttTETaTT=××==∫404002sin22)2cos(2,dttkTtkTTEdttktTETaTTk∫∫−++==404012))1(2cos())1(2cos(4)cos()2cos(4ππωπ=)])1(2sin)1(2))1(2sin)1(2[(24040TTtTkkTtkTkTTE−−+++ππππ=21111)1(2)1)1(1)1((kEkkEKkk−−=−−++−+−+ππ(1≠k)dttTTEtdtTETtdttTETaTTT∫∫∫+===4040240122cos142cos4cos2cos4ππωπ=24cos21240EtdtTTET=+∫π所以....4cos1542cos3cos2)(+−++=tEtEtEEtxωωπωπ。当fKHZfVEπω2,10,10===。2-7求题2.7图所示全波整流正弦信号的傅里叶级数。O()xttE......sin()Etπ123-1-2题2.7图解：由图可知：)(tx是偶函数，周期1=T,基频ππω221==T,傅里叶系数0=kb，ππππEtTEtdtETaTT2cossin1000=−==∫8∫∫++−==TTkdttktkTEtdtktETa011012)sin()sin(2cossin2ωπωπωπ)211211())cos()cos((01111ππππωπωπωπωπkkEktkktkTET+−−−−−−−=++−−−−=)41(42kE−=π即全波整流正弦的傅里叶级数展开形式：...]2cos152cos321[2)(11+−−=ttEtxωωπ。2-8由傅里叶变换的定义求题2.8图所示各信号的傅里叶变换。O11()xttτO2()xtτt1O3()xtt1−11cos()2tπ（a）（b）（c）题2.8图解:(a)=)(1tx1τ≤≤t00其它所以)1(1)1(1)()(011ωτωττωωωωjjtjejejdteXtx−−−−=−−==↔∫)2cos2sin22sin2(1)sincos1(12τωτωτωωτωτωωjjjj+=+−=2)2()2sin2(cos22sin)2cos2(sin2sin21τωτωττωτωτωτωττωτωτωωjeSajjj−=−=+=（b）11+−ττ≤≤t0)(2tx=0其它则傅里叶变换：9dtetdtetxXtxtjtjωτωττω−−∫∫−==↔00222)11()()()()1(1)(11)1()1()1)(11(20200ωττωωτωωτωτωττωωττωjeejjdtejejtjtjtjtj−−=+=−−−−+−=−−−−∫（c）t2cosπ11≤≤−t)(3tx=0其它则其傅里叶变换：dttejtejdtetXtxtjtjtjωωωππωπωπω−−−−−∫∫−+−==↔2sin212cos1)2cos()()(11111133)(4)(212cos4)(212cos4)(12sin2)(13222112222112112ωωππωπωππωππωππωωωωωωωωXeedtteeedttejtejtjtjtjtjtjtjtj++×−=++×−=−−−=−−−−−−−−∫∫即ωωπωωπωcos)(4423222−=−X得223)2(cos)(ωπωπω−=X。2-9利用傅里叶变换的线性和时移性质，由2.8题计算结果求题2.9图所示各信号的傅里叶变换。OE()xtt12-1-2O()xttEτ2τO()xtt1sintπ（a）（b）（c）题2.9图解：（a）由图可得)]2([)]1([)(11++−=tExtExtxττ，根据傅里叶变换的线性和时移性质：10ωωτωττωτω211)()()(jjeXEeXEX+=−)23cos()2())(2()23()2()2()2(23232323222ωωωωττωττττωττωωωωωωττωωττESaeeESaeESaeESaeeSaEeeSaEjjjjjjjj=+=+=×+×=−−−−−（b）由图可得)]([)()(22ττ−−+−=tExtExtx，根据傅里叶变换的