梳理抛物线焦点弦的有关结论

1xBAyoFBAyoF梳理抛物线焦点弦的有关结论知识点1：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦。设,,11yxA22,yxB，则（1）4221pxx；（2）221pyy证明：如图，（1）若AB的斜率不存在时，依题意,221pxx4221pxx若AB的斜率存在时，设为,k则2:pxkyAB，与pxy22联立，得042222222222pkpxkxkpxpxk.4221pxx综上：.4221pxx（2）pyxpyx2,2222211，,22142221pyypyy但22121,0pyyyy（2）另证：设2:pmyxAB与pxy22联立，得22122,02pyyppmyy知识点2：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦。设,,11yxA22,yxB，则（1）;21pxxAB（2）设直线AB的倾斜角为，则2sin2pAB。证明：（1）由抛物线的定义知,2,221pxBFpxAFpxxBFAFAB21（2）若,2,90210pxx则由（1）知2sin22ppAB若pxypxkyAB2,2:,9020与设联立，得2BAoyFBAoyFBAoyFK042222222222pkpxkxkpxpxk,22221kkpxx222112kkppxxAB，而tank，222sin2tantan12ppAB知识点3：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。证明：过点BA、分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为,11BA、过AB中点M向准线引垂线，垂足为,N设以AB为直径的圆的半径为,r.2211rMNMNBBAABFAFABr以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。知识点4：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦。过点BA、分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为,11BA、则01190FBA。证明借助于平行线和等腰三角形容易证明知识点5：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦，抛物线的准线与x轴相交于点K，则.BKFAKF证明：过点BA、分别作准线的垂线，垂足分别为.11BA、11////BBKFAABBBFAAAFFBAFKBKA1111,而BBAAKBKA1111BBKBAAKA1111，而01190KBBKAAKAA1∽KBB1KBBKAA113CFBAoyBAoyFBKFAKF知识点6：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦，o为抛物线的顶点，连接AO并延长交该抛物线的准线于点,C则.//OFBC证明：设,,11yxA22,yxB，则11112,2,:xpypCxxyyAB1221111222yppypyxpyyC由知识点1知221pyy2222yyppyCOFBC//逆定理：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦，过点B作OFBC//交抛物线准线于点,C则OCA、、三点共线。证明略知识点7：若AB是过抛物线022ppxy的焦点F的弦，设,,nBFmAF则.211pnm证法：（1）若xAB轴，则AB为通径，而,2pABpnm.211pnm（2）若AB与x轴不垂直，设,,11yxA22,yxB，AB的斜率为k，则2:pxkyl与pxy22联立，得042222222222pkpxkxkpxpxk4BAoyF,22221kkpxx.4221pxx由抛物线的定义知2,221pxBFnpxAFmppxxpxxpxxmnnmnm242112212121知识点8：已知抛物线022ppxy中，AB为其过焦点F的弦，,,nBFmAF则nmmnpSAOB42证明：设,AFx则BOFAOFAOBSSSsin4sin221sin221nmppmp而mnppmnpnpm222sin,sin,cos1,cos1.4422nmmnpmnpnmpSAOB逆定理：已知抛物线022ppxy中，AB为其弦且与x轴相交于点M，若,,nBMmAM且,42nmmnpSAOB则弦AB过焦点。证明：设,,11yxA22,yxB，,AMx0,tM，则BOMAOMAOBSSS=sin21sin21sin21tnmtntm而,sin,sin21nymymnyy212sin5mnyy21sin21212121yytmnnmmnyytnmSAOB而221422pmnnmnmmnpSAOB2221pyyt①又可设0222:22ptpayypxytayxlptyy221②由①②得2ptAB恒过焦点0,2p例1、过抛物线24yx的焦点做直线交抛物线于1122(,),(,)AxyBxy两点，如果126xx，那么AB8变式：过抛物线24yx的焦点做直线交抛物线于,AB两点，如果8AB，O为坐标原点，则OAB的重心的横坐标是2例2、直线l经过抛物线22(0)ypxp的焦点F，且与抛物线交于,AB两点，由,AB分别向准线引垂线'',AABB，垂足分别为'',AB，如果''ABa，Q为''AB的中点，则QF2a（用a表示）变式：直线l经过抛物线22(0)ypxp的焦点F，且与抛物线交于,AB两点，由,AB分别向准线引垂线'',AABB，垂足分别为'',AB，如果,ARaBFb，Q为''AB的中点，则QF222ab（用,ab表示）例3、设坐标原点为O，过焦点的直线l交抛物线24yx于,AB两点，OAOB-36例4、过抛物线2(0)yaxa的焦点F作一直线交抛物线于,PQ两点，若线段PF与FQ的长分别是,pq，则11pq4a小结：（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用；（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.(x1,y1)(x2,y2)xyB´A´(x1,y1)(x2,y2)xy(x1,y1)(x2,y2)xy(x1,y1)(x2,y2)(x1,y1)(x2,y2)(x1,y1)(x2,y2)xyB´A´B´A´