立体几何基础知识梳理

第二节棱柱、棱锥和棱台的结构特征一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以及这些公共边的公共顶点分别叫什么名称？面顶点棱由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.多面体若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.围成多面体的各个多边形叫多面体的面；相邻两个面的公共边叫多面体的棱；棱和棱的公共点叫多面体的顶点；把一个多面体的任何一个面延展为平面，如果其余各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体叫凸多面体。DABCEFF’A’E’D’B’C’1.棱柱的定义结构特征有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的公共边都平行。侧棱侧面底面顶点2.相关概念：其余各面叫做棱柱的侧面。两个互相平行的面叫做棱柱的底面；两个面的公共边叫做棱柱的棱。两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫做棱柱的高。底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱柱的顶点。3.棱柱的分类棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……1.侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。3.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。新知梳理思考3：下列多面体都是棱柱吗？如何在名称上区分这些棱柱？如何用符号表示？ABCDEA1B1C1D1E1ABCA1B1C1ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1棱柱用表示两底面的对应顶点的字母或用一条对角线端点的两个字母来表示有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？答：不一定是．如图所示，不是棱柱．思考4如何判断一个多面体是不是棱柱？１．有两个面互相平行（底面）２．其余各面都是四边形（侧面）３．每相邻两个侧面的公共边都互相平行棱柱思考?四棱柱平行六面体长方体直平行六面体正四棱柱正方体底面是平行四边形侧棱与底面垂直底面是矩形底面为正方形侧棱与底面边长相等几种四棱柱（六面体）的关系：长方体的性质：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，对角线长为l，则l2=a2+b2+c2一．直棱柱的表面积1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h.一．直棱柱的表面积1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h.棱柱的体积柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积.即V柱体=S·h.hh(2)性质棱柱的各侧棱，各侧面都是；长方体的对角线的平方等于．(3)直棱柱的侧面积公式S＝．(4)棱柱的体积公式V柱＝．相等平行四边形由一个顶点出发的三条棱的长的平方和Ch，C是底面的周长，h是直棱柱的侧棱长Sh，其S是棱柱的底面积，h是棱柱的高棱锥的结构特征棱锥及相关概念棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。侧面底面侧棱顶点SDBAC棱锥S-ABCD棱锥S-AC两个本质的特征：①有一个面是多边形；②其余各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可。有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗?棱锥及相关概念按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，它的顶点又在过底面中心且与底面垂直的直线上。正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形,且底边上的高都相等的,叫棱锥的斜高.棱锥的分类二.正棱锥的表面积ahh'1.正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半，即S正棱锥侧=na·h’.其中a为底面正多边形的边长，底面周长为c，斜高为h’，21二.正棱锥的侧面积ahh'二.正棱锥的侧面积1.正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半，即S正棱锥侧=na·h’.其中a为底面正多边形的边长，底面周长为c，斜高为h’，ahh'21三.棱锥的体积1.如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体=Sh.31圆柱、圆锥、圆台和球圆柱一．圆柱及相关概念1．定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。圆柱侧面轴母线底面记作：圆柱OO’母线2．相关概念：（1）圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴；（2）圆柱的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆柱的高；（3）圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；（4）圆柱的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；（5）圆柱的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱的母线。3．圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO’.4．圆柱具有以下性质：（1）圆柱的底面是两个半径相等的圆，圆的半径等于矩形的边的长，两圆所在的平面互相平行；（2）通过轴的各个截面是叫做轴截面，轴截面是全等的矩形；（3）母线平行且相等，它们都垂直于底面，它们的长等于圆柱的高.二．圆锥及相关概念1．定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.2．相关概念：（1）圆锥的轴：旋转轴叫做圆锥的轴；（2）圆锥的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆锥的高；（3）圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；（4）圆锥的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；（5）圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线；3．圆锥具有以下性质：（1）圆锥的底面是一个圆，圆的半径就是直角边的长，底面和轴垂直；（2）平行于底面的截面是圆；（3）通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰三角形；（4）过顶点和底面相交的截面是等腰三角形;（5）母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等。三．圆台及相关概念1．定义：以直角梯形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台。2．相关概念：（1）圆台的轴：旋转轴叫做圆台的轴；（2）圆台的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆台的高；（3）圆台的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面；（4）圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面；（5）圆台的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆台的母线。侧面上底面母线下底面母线轴3．圆台的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆台OO’。4．圆台具有以下性质：（1）圆台的底面是两个半径不等的圆，两圆所在的平面互相平行又都和轴垂直；（2）平行于底面的截面是圆；（3）通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形；（4）任意两条母线（它们延长后会相交）确定的平面，截圆台所得的截面是等腰梯形；（5）母线都相等，各母线延长后都相交于一点。rlrlclS2圆柱侧lrrlclS21圆锥侧clrlrrlccS)()(21''圆台侧'r'cc圆柱、圆锥、圆台名称圆柱圆锥圆台图形定义性质以矩形一边所在直线为轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体。以直角三角形一直角边所在直线为轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体轴截面是全等的矩形轴截面是全等等腰三角形轴截面是全等等腰梯形hlrlhRrhlr四．球及相关概念：1．定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球。另外将圆绕直径旋转180°得到的几何体也是球。2．相关概念：（1）球面：球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的曲面；（2）球心：形成球的半圆的圆心叫做球心；（3）半径：连接球面上一点和球心的线段叫球的半径；（4）直径：连接球面上的两点且通过球心的线段叫球的直径；3．球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.4．球的截面性质：（1）球的截面是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆；（2）球心和截面圆心的连线垂直于截面;（3）(其中r为截面圆半径，R为球的半径，d为球心O到截面圆的距离，即O到截面圆心O1的距离；22rRd5．球面距离：在球面上，两点之间的最短距离就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。这个弧长叫做两点的球面距离。球面距离在球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度————这个弧长叫两点的球面距离OPQ334RVR的球的体积为：定理：半径是球的体积球的表面积24RSR的球的表面积为：定理：半径是旋转体的概念由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体叫做旋转体，这条直线叫做旋转体的轴。比如常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台和球.柱体的体积公式设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面α内（右图）其中S是柱体的底面积，h是柱体的高sss根据祖暅原理，可知它们的体积相等。由于长方体的体积等于它的底面积乘于高，于是我们得到柱体的体积公式V柱体=S·h经探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱)的，即棱锥(圆锥)的体积：31（其中S为底面面积，h为高）13VSh由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的．13S'Sxhsshxx'''ssshxxSxhSV'31)31（台xSSxSh'313131''')(3131ssshSSSh'')(3131shssSh)(31''sssshADCB中心投影平行投影斜投影正投影三角形一定相似吗？一定是三角形吗？1.平行投影与直观图F′FM′Ml2.过F上任意一点M作直线MM′平行于l，交平面α于点M′，则点M′叫做点M在平面α内关于直线l的平行投影。•如果图形F上的所有点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′，则F′叫做F在α内关于直线l的平行投影。•平面α叫投影面。•直线l叫投射线。3.平行投影规律：1.直线或线段的平行投影仍是直线或线段；4.与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等。2.平行直线的平行投影是平行或重合的直线；3.平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；5.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变；当图形中的直线或线段不平行于投射线时•一个空间图形在投射面上的平行投影（平面图形）可以形象地表示这个空间图形。•用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图。先讨论水平放置的平面图形的画法。例1、画水平放置的正六边形的直观图4.斜二测画法0YXABCEDFMNA1D1N1M1B1C1F1E101y1x1总结画法规则：1、在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴ox、oy；2、画直观图时，把它们画成对应的o’x’、o’y’轴，使它们成45°角；3、已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴、y’轴的线段（即平行性不变）；4、已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半(即横不变纵拆半）。是为斜二测画法。例1（2009全国Ⅱ卷）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是（）A.南B.北C.西D.下上东例2（2008重庆高考）如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为()A．模块①，③，⑤B．模块②，④，⑤C．模块③，④，⑤D．模块①，②，⑤例3如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从A到C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少？745)43(22544)35(221033)45(22,,同步练习：如右图,四面体P-ABC中,PA=PB=PC=2,∠APB=∠BPC=∠APC=300.一只蚂蚁从A点出发沿四面体的表面绕一周,再回到A点,问