弹性力学作业答案-第二章

弹性力学作业第二章平面问题的基本理论2-5在下图的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件∑𝐌𝐜=0，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？解：将对形心的力矩平衡条件∑Mc=0，改为对角点的力矩平衡条件∑MD=0，列出力矩的平衡方程∑MD=0：σxdy×1×dy2+τyxdx×1×dy+(σy+∂σy∂ydy)dxdx2=τxydydx+σydxdx2+(σx+∂σx∂xdx)dydy2。σx2(dy)2+τyxdxdy+σy2(dx)2+∂σy2∂ydy(dx)2=τxydxdy+σy2(dx)2+σx2(dy)2+∂σx2∂xdx(dy)2。将上式除以dxdy，合并相同的项，得到τyx+∂σy2∂ydx=τxy+∂σx2∂xdy。省略去微小量不记（即∂σy2∂ydx，∂σx2∂xdy为0），得出τyx=τxy可以看出此关系式和对形心的力矩平衡条件∑Mc=0解出的结果一样。弹性力学作业2-6在下图的微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，试问将导出什么形式的平衡微分方程。解：每个面上的应力分量不是均匀分布的，假设应力分量沿线性分布，如上图所示，为了计算方便，单元体在Z方向的长度取一个单位。各点的正应力为：(σx)A=σx(σx)B=σx+∂σx∂ydy(σx)D=σx+∂σx∂xdx(σx)C=σx+∂σx∂xdx+∂σx∂ydy(σy)A=σy(σy)B=σy+∂σy∂ydy(σy)D=σy+∂σy∂xdx(σy)C=σy+∂σy∂xdx+∂σy∂ydy各点的切应力为：(τxy)A=τxy，(τxy)B=τxy+∂τxy∂ydy，(τxy)D=τxy+∂τxy∂xdx，(τxy)C=τxy+∂τxy∂xdx+∂τxy∂ydy，弹性力学作业(τyx)A=τyx，(τyx)B=τyx+∂τyx∂ydy，(τyx)D=τyx+∂τyx∂xdx，(τyx)C=τyx+∂τyx∂xdx+∂τyx∂ydy，由微分单元体的平衡条件∑Fx=0，∑Fx=0得{−12[(σx)A+(σx)B]}dy+{12[(σx)D+(σx)C]}dy−{12[(τyx)A+(τyx)D]}dx+{12[(τyx)B+(τyx)c]}dx+fxdxdy=0，{−12[(σy)A+(σy)D]}dy+{12[(σy)B+(σy)C]}dy−{12[(τxy)A+(τxy)B]}dx+{12[(τxy)D+(τxy)c]}dx+fydxdy=0。将各个点的应力分量带入上式，化简，并约去dxdy，就得到平面问题中的平衡微分方程{∂σx∂x+∂τyx∂y+fx=0，∂σy∂y+∂τxy∂x+fy=0。2-8试列出图2-13，图2-14所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。图2-13图2-14解：对于图2-13中，在主要边界x=0，x=b上，应满足下列的边界条件：(σx)x=0=−ρgy，(τxy)x=0=0;(σx)x=b=−ρgy，(τxy)x=b=0。在次要边界y=0上，能满足下列边界条件：弹性力学作业(σy)y=0=−ρgh1，(τyx)y=0=0。在次要边界y=h2上，有位移边界条件：(u)y=h2=0，(v)y=h2=0。这两个边界位移条件用圣维南原理的三个积分的应力边界条件代替，设板厚为1个单位，{∫(σy)y=h2dx=−ρg(h1+h2)b，b0∫(σy)y=h2xdx=b00，∫(τyx)y=h2dx=b00。对于图2-15中，在主要边界y=±h/2上，应满足下列边界条件：(σy)y=h/2=0，(τyx)y=h/2=−q1;(σy)y=−h/2=−q，(τyx)y=−h/2=0。在次要边界上x=0，列出三个积分的应力边界条件：{∫(σx)x=0dy=−h/2−h/2FN，∫(σx)x=0ydy=−h/2−h/2M，∫(τxy)x=0dy=−h/2−h/2FS。在次要边界x=l上，有位移边界条件：(u)x=l=0，(v)x=l=0。这两个位移边界条件可以改用三个积分边界条件来代替。2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答：图2-16图2-17解：按应力求解时，在单元体中应力分量必须满足：平衡微分方程、相容方程、应力边界条件（本题不计体力）。（a）图2-16，𝛔𝐱=𝐲𝟐𝐛𝟐𝐪，𝛔𝐲=𝛕𝐱𝐲=𝟎。①相容条件：将应力分量代入相容方程得：(∂2∂x2+∂2∂y2)(σx+σy)=2qb2≠0，弹性力学作业不满足相容方程。②平衡条件：将应力分量代入平衡微分方程{∂σx∂x+∂τyx∂y+fx=0，∂σy∂y+∂τxy∂x+fy=0。满足上式。③应力边界条件：在x=±边界上，σx=y2b2q，τxy=0。在y=±b边界上，σy=0，τyx=0。满足边界条件。（b）图2-17，由材料力学公式，𝛔𝐲=𝐌𝐈𝐲，𝛕𝐱𝐲=𝐅𝐬𝐒𝐛𝐈（取梁的厚度b=1），得出所示问题的解答：𝛔𝐱=−𝟐𝐪𝐱𝟑𝐲𝐥𝐡𝟑，𝛕𝐱𝐲=−𝟑𝐪𝟒𝐱𝟐𝐥𝐡𝟑(𝐡𝟐−𝟒𝐲𝟐)。又根据平衡微分方程和边界条件得出：𝛔𝐲=𝟑𝐪𝟒𝐱𝐲𝐥𝐡−𝟐𝐪𝐱𝟑𝐲𝐥𝐡𝟑−𝐪𝟐𝐱𝐥。试试推导上述公式，并检验解答的正确性。①推导公式：在分布力的作用下，梁发生弯曲变形，其对Z轴的惯性矩为Iz=h312，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程分别为M(x)=−q6lx3，Fs(x)=−qx22l。所以截面内任意点的正应力和切应力分别为σx=M(x)yIz=−2qx3ylh3，τxy=3Fs(x)2bh(1−4y2h2)=−3q4x2lh3(h2−4y2)。根据平衡微分方程得第二式∂σy∂y+∂τxy∂x+fy=0得到σy=3q4xylh−2qx3ylh3+A。根据边界条件(σy)y=h/2=0，得A=−q2xl，所以σy=3q4xylh−2qx3ylh3−q2xl。②相容条件：弹性力学作业将应力分量代入相容方程(∂2∂x2+∂2∂y2)(σx+σy)=−24qxylh3≠0，不满足相容方程。③平衡条件：将应力分量代入平衡条件满足。④应力边界条件：在主要边界y=±h/2上，应满足下列边界条件：(σy)y=−h/2=−qxl，(τyx)y=−h/2=0;(σy)y=h/2=0，(τyx)y=h/2=0。显然满足。在次要边界上x=0，外力的主矢量、主矩为0，列出三个积分的应力边界条件：{∫(σx)x=0dy=0h/2−h/2，∫(σx)x=0ydy=0h/2−h/2，∫(τxy)x=0dy=0h/2−h/2。在次要边界x=l上，有位移边界条件：(u)x=l=0，(v)x=l=0。这两个位移边界条件可以改用三个积分边界条件来代替。{∫(σx)x=ldy=h/2−h/2∫−2qx3ylh3dy=0h/2−h/2，∫(σx)x=lydy=h/2−h/2∫−2qx3ylh3ydy=−ql26h/2−h/2，∫(τxy)x=ldy=h/2−h/2∫−3q4x2lh3(h2−4y2)dy=−ql2h/2−h/2。所以，满足应力边界条件。上面两题的应力分量虽然满足应力边界、条件平衡条件，但都不满足相容方程，所以两题的解答都不是问题的解。2-18试试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为𝐟𝐱=−𝛛𝐕𝛛𝐱，𝐟𝐲=−𝛛𝐕𝛛𝐲，其中V是势函数，则应力分量可表示为𝛔𝐱=𝛛𝟐∅𝛛𝐲𝟐+𝐕，𝛔𝐲=𝛛𝟐∅𝛛𝐱𝟐+𝐕，𝛕𝐱𝐲=−𝛛𝟐∅𝛛𝐱𝛛𝐲。试导出相应的相容方程。解：（1）将fx，fy代入平衡微分方得{∂∂x(σx−V)+∂τyx∂y=0，∂∂y(σy−V)+∂τxy∂x=0。（a）为了满足式（a），可以取弹性力学作业σx−V=∂2∅∂y2，σy−V=∂2∅∂x2，τxy=−∂2∅∂x∂y。即σx=∂2∅∂y2+V，σy=∂2∅∂x2+V，τxy=−∂2∅∂x∂y。（2）对体力、应力分量fx，fy，σx，σy求偏导数，得∂fx∂x=−∂2V∂x2，∂fx∂x=−∂2V∂y2，∂2σx∂x2=∂4∅∂x2∂y2+∂2V∂x2，（b）∂2σx∂y2=∂4∅∂y4+∂2V∂y2，∂2σy∂x2=∂4∅∂x4+∂2V∂x2，∂2σy∂y2=∂4∅∂x2∂y2+∂2V∂y2。将式（b）代入(∂2∂x2+∂2∂y2)(σx+σy)=−(∂fx∂x+∂fyσy)(1+μ)得平面应力问题的相容方程：∂4∅∂x4+2∂4∅∂x2∂y2+∂4∅∂y4=−(1−μ)(∂2V∂x2+∂2V∂y2)，∇4∅=−(1−μ)∇2V。将式（b）代入(∂2∂x2+∂2∂y2)(σx+σy)=−(∂fx∂x+∂fyσy)(11−μ)得平面应变题的相容方程：∂4∅∂x4+2∂4∅∂x2∂y2+∂4∅∂y4=−(1−2μ1−μ)(∂2V∂x2+∂2V∂y2)，∇4∅=−(1−2μ1−μ)∇2V。