一起学奥数——统筹安排

风子编辑统筹安排教育目标1、结合生活，了解最优化方案2、锻炼学生分析和思考问题的能力教育重点通过案例学习，解决生活中发生的实际问题，达到学以致用的目的教育难点孩子对生活有自己的理解，需要通过引导而不是灌输来学习本讲内容第一课基础部分例1、仓库里有一批8米长的钢筋，现在要截出3米长的毛坯40根，2米长的毛坯40根，试设计最省料的下料方案。问：要几根原材料？方法一（列表法）：一二三3米2102米124残料010可以把8米长的钢筋截成3米和2米长的毛胚，可以怎样截取呢？我们可以采用列表的方法来分析：根据上表，第二种方法会有浪费，所以尽量不要采用。第一种方法有两种毛胚组合，第三种方法处理的是第一种方法毛胚少的。所以，先用第一种，再用第二种调整的组合方式。40÷2=2040-20×1=2020÷4=520+5=25方法二（数论法）：使用料最省，则应该把8拆成3和2的组合（注意：不能有其他的因数）8=3×2+2×1=3×0+2×4所以，先把8分成2个3和1个2，需要40个3，则40÷2=20，即需要20根8米长的毛胚截取40根3米长毛胚的同时，得到了20×1=20根2米长的毛胚，所以2米长的毛胚还少40-20=20根8可以正好分成4个2，即每根8米长的钢筋可以截成4根2米长的毛胚，所以截取2米长剩余毛胚，需要20÷4=5根钢筋。所以，总共需要原材料20+5=25根。例2、小明清早起来洗脸、刷牙、叠被子需要8分钟，做保健操需要6分钟，洗杯子、拿奶粉又用2分钟，烧开水需15分钟。请你安排一下做这几件事情的顺序，使小明尽快地喝到牛奶总共需要几分钟？【分析】我们平时在做的事情，有些可以同时做，有些没法同时做，我们用图形表示这种工作关系如下：烧开水洗脸……洗杯子、拿奶粉15分钟做保健操8分钟6分钟2分钟由上图可以看出，我们在烧开水的时候，可以同时完成洗脸、刷牙、叠被子，以及做保健操，一共花去14分钟。水开后，我们还要i用1分钟时间洗杯子、拿奶粉。所以，小明要尽快喝上牛奶，共需要16分钟。所以，小明要尽快喝上牛奶，共需要16分钟（请同学们说说几件事情的安排顺序）。例3、甲、乙、丙三人过桥，桥上每次只能走两个人，每人过桥后再返回需要2分钟（往返各需1分钟），三人过桥后再返回一共需要几分钟？【分析】首先我们要弄清楚题目给定的要求。要求：1、桥上每次只能是两个人，即不能是一个人在桥上，也不能三个人同时在桥上；2、过桥后都要回到出发点。因为题目没有规定甲乙丙原来在桥的那一边，所以我们以三人都在桥的同一边为例做分析。甲乙丙由图示过程，我们可以看出，这与平底锅煎饼类似。我们可以把往返的过程分开来，使每个人都经过桥两次，每经过一次需要1分钟，所以三人过桥后再返回一共需要3×2×1=6分钟。可以试试三个人在桥上的另外可能（如2左1右），以及五个人的情况例4、学校大扫除，四位同学各拿大小不一的桶一同去打水，注满这些水桶，第一人需要用5分钟，第二任需要用3分钟，第三人需要4分钟，第四人需用2分钟。现只有一个水龙头，应如何安排这四个人的打水次序，使他们花费的等候时间总和最少，这个时间等于多少？【分析】这里要研究的是，我们先做占时间多的，还是先做占时间少的问题。列下两表（括号内的是等候时间）分析：第一人第二人第三人第四人5（5）（5）（5）4（4）（4）3（3）2（2）（3）第一人第二人第三人第四人5（2）（2）4（3）3（4）2比较左右两表可以发现，右表的数字和比左表的小。说明要花费时间尽量少，就应该把用时短的排在前面完成。使等候时间总和最少的排序方法为：第四人、第二人、第三人、第一人。等候时间为：2×4+3×3+4×2+5×1=30分钟例5、如下图，在一条公路上，每个100千米有一个仓库，共有5个仓库。一号仓库有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库有40吨货物，其余两个仓库是空的，现在要把所有货物集中到一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要1元运费，那么最少的运费是多少？一二三四五10吨20吨40吨【分析】这其实是一个仓库选择的问题。要弄清楚最少运费，应该对每一种情况进行计算。列表如下：目标仓库一号二号五号合计五号40006000010000四号30004000400011000三号20002000800012000二号100001200013000一号020001600018000显然，都放到五号仓库运费最省，运费为10000元。试分析，并思考是否有更简便的方法例6、北京和上海分别制成了同一型号的电子计算机若干台，除本地应用外，北京可支援外地10台，上海可支援外地4台。现在决定给重庆8台，汉口6台，若每台计算机的运费如下表（单位：元）应该如何调运，才能使总运费最省。汉口（6）重庆（8）北京（10）4080上海（4）3050终点每台运费起点【分析】一台电脑从北京到重庆比上海到重庆贵30元，而到汉口只贵10元，所以运到重庆的尽量来自上海。所以上海的4台运到重庆，北京4台运到重庆，6台运到汉口。4×50+4×80+6×40=760元我们也可以假设上海到汉口运x台，则有所需运费为：30x+（6-x）×40+（4-x）×50+[10-（6-x）]×80=760+20x所以，当x=0时，即上海的4台都运到重庆时，所需费用最少，为760元。第二课提高部分例题：车间里有5台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为：18、30、17、20、25分钟。1）现在有一名修理工，怎么安排顺序，使得修理等待时间总的最少？最少使多少？2）假如有两名修理工，怎么安排顺序，使得修理等待时间总的最少？最少使多少？一、排队等候问题【分析】1）排队问题，只有一个修理工，则应该用时最短的排在前面，使等候的时间最短。17×5+18×4+20×3+25×2+30×1=297分钟2）当有两个修理工时，要所耗时间进行分组，使每组的差值尽量小。因为是五个数，应该一个修理工负责3台，另一个负责两台，使耗时短的排在前面，耗时长的放在最后。所以五台设备等待权值为1台等待3，2台等待2，2台等待1，则有总等待时间为：17×3+18×2+20×2+25×1+30×1=51+36+40+25+30=182试问:如果第二小题问的是历时最短多少时间，该怎么安排所以，分成17、18、25与20、30两组。例题：在一条街道上，共有五座居民楼，图中数字表示每个居民楼的人数，现在想建一个公交车站，使居民到达车站的距离之和最短，应该建在哪里最好？二、仓库问题A(10)B(10)C(30)D(20)E(70)【分析】这是一个仓库问题，与位置、每个位置上的数量相关。如果不涉及每个位置上的数量，则奇数点往中间点靠即可。因为本题还涉及到数量，则把点分成两部分，尽量使左右两部分数值相同，或小的往大的方向靠拢。首先应该明白，每个点间的距离是相等的。因为A+B+C接近E，所以我们先设计以D为目标，左右分成两部分，则居民到达车站的距离之和为：10×3+10×2+30×1+70×1=150因为A+B+C+D=E，我们再测试下在E点建站：10×4+10×3+30×2+20×1=150，说明可以在D或E建站，都符合要求。如果B点有30人，C点10人呢？例题：有甲、乙、丙、丁四位老师在伸手不见五指的夜晚，要过一座独木桥，独木桥能同时承受两个人的重量，四个人只有一个手电筒，过桥的时间分别为2、3、6、7分钟，怎么过桥时间最短？三、小船过河问题【分析】一次只能过两个人，且只有一个手电筒，所以两个人过去后，还得把手电筒送回。要求过桥时间最短，则送手电筒的人必须走得快。于是，甲、乙先走，花时3分钟（为什么）；接着让甲老师送回手电，花时2分钟；甲把丙接过桥，花时6分钟；再重复送回手电把丁老师接过桥，总花时2+7=9分钟这样，合计花时3+2+6+9=20分钟请思考，这是不是最省时间的方法呢？这个方法睡花时最多？显然，由于丙、丁合计花了6+7=13分钟，如果一起过的话，只要7分钟即可，可省13-7=6分钟；而乙比甲多用1分钟，甲、乙过两次多用3分钟。所以慢的一起走，可以节约2分钟。则总花时只要18分钟即可。请思考，如果乙需要4分钟呢？如果需要5分钟呢？例题：北京、上海分别有10台和6台完全相同的机器，准备给武汉11台，西安5台，每台机器的运费如下表，如何调运能使费用最省？四、调运问题武汉西安北京500600上海7001000【分析】这是一个调运问题。方法一、因为西安由北京送了，就不需要上海送，所以意愿冲突，需要比较运费差价。方法二、列方程法对于武汉，北京和上海的运费差价为200元对于西安，北京和上海的运费差价为600元所以，应该先满足差价大的西安。北京调运5台给西安，其它的调运到武汉，总运费为：600×5+500×5+700×6=9700元方法二：列方程法。假设北京运到西安为x（1≤x≤5）台，上海运往西安（5-x）台，北京的（10-x）台运往武汉，上海运往武汉为[11-（10-x）]台。所以总运费为：600x+1000（5-x）+500(10-x）+700（1+x）对方程进行整理后，为：10700-200x当x=5时，总运费最省，为10700-200×5=9700元试比较，两种方法的优缺点知识点小结排队等候问题仓库问题调运问题小船过河问题从小到大依次行动优劣比较，选择过桥，时间最少的方法。1、比较意愿，不冲突各自运送，冲突比较差价2、方程法不考虑东西时。奇数点选择最中间点；偶数点正中间两点及他们之间线段上任意一点考虑东西时一分为二，小往大靠备注：过河的两种方法，一是最快的一直来回跑，二是慢的一起走；大多数问题是后一种