能带理论与半导体-10

中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina能带理论与半导体（I）中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用能带理论的基本出发点:固体中的电子可以在整个固体中运动中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChinaBorn－Oppenheimer绝热近似：所有原子核都周期性地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子的碰撞能带理论是单电子近似的理论。用这种方法求出的电子能量状态将不再是分立的能级，而是由能量的允带和禁带相间组成的能带，故称为能带理论。能带理论的两个基本假设：Hatree－Fock平均场近似：忽略电子与电子间的相互作用，用平均场代替电子与电子间的相互作用中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina一、周期场模型周期场模型：在理想完整晶体中，所有原子实都周期性地静止排列在其平衡位置上；每一个电子都处在除其自身外其他电子的平均势场和原子实所组成的周期场中运动二、Bloch定理（1928年）在周期场中，描述电子运动的Schrödinger方程为)()()(222rErrVm中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChinaRnrr+Rn周期性势场)()(nRrVrV格矢332211anananRn——Bloch函数方程的解为：)()(ruerkrikk是以格矢为周期的周期函数)()(nkkRrurunR中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina（＝1,2,3）：晶格的三个基矢定义一个平移算符T，使得对于任意函数有)(rf)()(arfrfTa)()()(aarfarfTrfTT)()(rfTTaarf因为f(r)是任意函数，所以，TT－TT=0中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina)()(2)(22rfrVmTrHfTr)()(222arfarVmar)()()(222rfHTrfTrVmr因为f(r)是任意函数，所以，T与H对易T和H有共同本征态中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina（设为非简并）设(r)为T和H的共同本征态：平移算符T的本征值引入周期性边界条件：晶体的总原胞数：N＝N1N2N3设N是晶体沿基矢（＝1，2，3）方向的原胞数，a)()()()()(rarrTrErH中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina周期性边界条件：引入矢量h＝整数，＝1,2,3)()(aNrr)()(rrTNNhiNe21Nhie2333222111bNhbNhbNhkaike2ba整数h中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina定义一个新函数：)()(332211anananrRrn)()(321321321321rrTTTnnnnnn)()(332211reanananik)()(reRrnRikn)()(rerukrikk)()()(nkRriknkRreRrun)(reeekRikRikriknn)()(rurekkrik中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina是以格矢为周期的周期函数几点讨论1.关于布里渊区波矢量k是对应于平移算符本征值的量子数，其物理意义表示不同原胞间电子波函数的位相变化不同的波矢量k对应于不同的平移算符本征值，电子波函数在原胞间的位相差不同，即描述晶体中电子不同的运动状态)(ruknR)()(ruerkrikk)()(ruerkrikk)()()(reraraik中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina如果两个波矢量和相差一个倒格矢，这两个波矢所对应的平移算符本征值相同＝1,2,3对于：对于：波矢量和所描述的电子在晶体中的运动状态相同通常将取在由各个倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点在内的最小封闭体积，即简约区或第一布里渊区kknGkaikenGkkaikaiGaikakieeeenknGkkk中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina简约波矢：限制在简约区中取值扩展波矢：在整个空间中取值每一个量子态在空间中所占的体积:在空间中，波矢的分布密度：333222111bNhbNhbNhkkkkkkNbNbNbNb332211111kk3388)(VNNkabab3aNV8中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina在简约区中，波矢的取值总数为k晶体的原胞数Nkb)(扩展布里渊区变换到第一布里渊区简约布里渊区-2/a2/aX射线衍射劳厄条件散射前后波矢的改变为倒格矢时，散射后才能观察到相长干涉中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChinaONMrkkkkkksink2nGG0hhkl0d2G2knsind2hklhG2hG2hGOkkhGkkhhGGk21ˆ|V1||V2|k状态在布里渊边界的布拉格反射自由运动k状态驻波导致的能级劈裂周期性势场中自由电子的布拉格反射形成禁带中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina体心立方的基矢为)ˆˆˆ(21zyxaa)ˆˆˆ(22zyxaa)ˆˆˆ(23zyxaa321321a)aa(a实空间Wigner-Seitz对称晶胞中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina)ˆˆ(21zyab)ˆˆ(22zxab)ˆˆ(23yxab]ˆ)(ˆ)(ˆ)[(2213132332211zhhyhhxhhabhbhbhGh体心立方的第一布里渊区，正十二面体倒格子空间中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina)ˆˆ(21zyaa)ˆˆ(22zxaa)ˆˆ(23yxaa341321a)aa(a面心立方的基矢为实空间Wigner-Seitz对称晶胞中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina)ˆˆˆ(21zyxab)ˆˆˆ(22zyxab)ˆˆˆ(23zyxab面心立方的第一布里渊区，截角八面体倒格子空间中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina2.Bloch函数的性质Bloch函数:周期函数的作用则是对这个波的振幅进行调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性行进波因子表明电子可以在整个晶体中运动的，称为共有化电子，它的运动具有类似行进平面波的形式)()(ruerkrikkrike)(ruk中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina晶体中电子：自由电子：孤立原子：如果晶体中电子的运动完全自由，在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之间，是两者的组合若电子完全被束缚在某个原子周围，)()(ruerkrikkrikkAer)()()(rCur常数A常数CAruk)(Cerik由于晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完全被束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有的形式。周期函数反映了电子与晶格相互作用的强弱)(ruekrik)(ruk中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina的平移对称性)k(En。完全描述了固体的性质里渊区空间的对称性，简约布在）（k)k(E)Gk(E)k(E1nhnn)r(e)Rr()r()r(,)k(E)r()k(E)k(E2nkRiknnknknnnknnn操作结果有：操作不变性的本征函数，由于对称是本征值为任意对称操作，如代表晶体所属点群中的）（中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina一、固体中电的传导1.1能带和键模型SiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSiSi+e-Eg+e-中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina半导体导带和价带的E-k关系图:(a)T=0K(b)T0K(a)(b)中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina1.2漂移电流2/cmAqNvJdNiivqJ1电流是由电荷的定向运动产生的对体密度为，平均漂移速度为的正电荷，漂移电流密度为：)(3cmN)/(scmvd如有外力作用在粒子上，粒子获得的能量为：FvdtFdxdE外力作用下E-k关系图中电子的不对称分布NiiveJ1导带中电子运动产生的漂移电流密度为：中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina1.2电子的有效质量对半导体来说，起作用的常常是接近导带底或价带顶部的电子，极值附近的E-k关系其主要作用：2022021)0()(kdkEdkdkdEEkEkk0;00kdkdEk202221)0()(kdkEdEkEk对于给定半导体，应为常数，令：022/kdkEd*022211mdkEdk*222)0()(mkEkE*m为有效质量自由电子能量0222)(mkkE中国人民大学理学院化学系DepartmentofChemistry,RenminUniversityofChina导带底附近，，电子有效质量为正值。)0()(EkE价带顶附近，，电子有效质量为负值