2019年高考数学试题分项版—解析几何(解析版)

2019年高考数学试题分项版——解析几何（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，10)双曲线C：－＝1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin40°B．2cos40°C.D.答案D解析由题意可得－＝tan130°，所以e＝√＝√＝√＝||＝.2．(2019·全国Ⅰ文，12)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(ab0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝()()()＝，因为cos2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－2()2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.3．(2019·全国Ⅱ文，9)若抛物线y2＝2px(p0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2B．3C．4D．8答案D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为()，椭圆的焦点坐标为(±√，0)，所以＝√，解得p＝8，故选D.4．(2019·全国Ⅱ文，12)设F为双曲线C：－＝1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.√B.√C．2D.√答案A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为()2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2√().由|PQ|＝|OF|，得2√()＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝√，故选A.5．(2019·全国Ⅲ文，10)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A.B.C.D.答案B解析由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x00，y00，则{√解得{所以P(√)，所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.6．(2019·北京文，5已知双曲线－y2＝1(a0)的离心率是√，则a等于()A.√B．4C．2D.答案D解析由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝＝＝1＋.结合a0，解得a＝.7．(2019·天津文，6)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.√B.√C．2D.√答案D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝√＝√.8．(2019·浙江，2)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.√B．1C.√D．2答案C解析因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝√a，所以双曲线的离心率e＝＝√.9．(2019·全国Ⅰ理，10)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案B解析由题意设椭圆的方程为＋＝1(ab0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝＝.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝()()()＝，因为cos2θ＝1－2sin2θ，所以＝1－2()2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1，故选B.10．(2019·全国Ⅱ理，8)若抛物线y2＝2px(p0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2B．3C．4D．8答案D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为()，椭圆的焦点坐标为(±√，0)，所以＝√，解得p＝8，故选D.11．(2019·全国Ⅱ理，11)设F为双曲线C：－＝1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.√B.√C．2D.√答案A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为()2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2√().由|PQ|＝|OF|，得2√()＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝√，故选A.12．(2019·全国Ⅲ理，10)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为()A.√B.√C．2√D．3√答案A解析不妨设点P在第一象限，根据题意可知c2＝6，所以|OF|＝√.又tan∠POF＝＝√，所以等腰△POF的高h＝√×√＝√，所以S△PFO＝×√×√＝√.13．(2019·北京理，4)已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为12，则()A．222abB．2234abC．2abD．34ab【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222abc得答案．【解析】：由题意，12ca，得2214ca，则22214aba，22244aba，即2234ab．故选：B．【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题．14．(2019·北京理，8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||Cxyxy就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是()A．①B．②C．①②D．①②③【思路分析】将x换成x方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得．【解析】：将x换成x方程不变，所以图形关于y轴对称，当0x时，代入得21y，1y，即曲线经过(0,1)，(0,1)；当0x时，方程变为2210yxyx，所以△224(1)0xx…，解得(0x，23]3，所以x只能取整数1，当1x时，20yy，解得0y或1y，即曲线经过(1,0)，(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0)，(1,1)，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当0x时，由221xyxy得222212xyxyxy„，（当xy时取等），222xy„，222xy„，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确．在x轴上图形面积大于矩形面积122，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于213，故③错误．故选：C．【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．15．(2019·天津理，5)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.√B.√C．2D.√答案D解析由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝√＝√.二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，15)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．答案(3，√)解析不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝√＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则{||()得{√所以M的坐标为(3，√)．2．(2019·北京文，11)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．答案(x－1)2＋y2＝4解析∵抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线x＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．又∵圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，∴r＝2.∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.3．(2019·浙江，12)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2√解析方法一设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0，令x＝0，得m＝－2，则r＝√()()＝√.方法二因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以()×2＝－1，所以m＝－2，r＝√()()＝√.4．(2019·浙江，15)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．答案√解析依题意，设点P(m，n)(n＞0)，由题意知F(－2,0)，|OF|＝2，所以线段FP的中点M()在圆x2＋y2＝4上，所以()2＋()2＝4，又点P(m，n)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，所以4m2－36m－63＝0，所以m＝－或m＝(舍去)，当m＝－时，n＝√，所以kPF＝√()＝√.5．(2019·江苏，7)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_________________．答案y＝±√x解析因为双曲线x2－＝1(b0)经过点(3,4)，所以9－＝1，得b＝√，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±bx＝±√x.6．(2019·江苏，10)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．答案4解析设P()，x0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝√＝≥√√＝4，当且仅当2x＝，即x＝√时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.7．(2019·全国Ⅰ理，16)已知双曲线C：－＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝⃗⃗⃗⃗⃗，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝0，则C的离心率为________．答案2解析因为F1B→·F2B→＝0，所以F1B⊥F2B，如图．因为⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝⃗⃗⃗⃗⃗，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BOF2＝，tan∠BF1O＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝()，所以b2＝3a2，所以c2－a2