2.2随机变量的数字特征

§22随机变量的数字特征一、离散型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望三、随机变量函数的数学期望四、数学期望的性质五、随机变量的方差六、随机变量的矩与切比雪夫不等式(略)中靶环数也将趋于一个稳定值100iiipx100100iiiiiifxnnxx201102029201220212010一、离散型随机变量的数学期望引例观察一名射手20次射击的成绩如下当试验次数加大时频率fi的稳定值就是概率pi相应地平均评价射手的射击水平的“平均中靶环数”为100100iiiiiifxnnxx201102029201220212010100100iiiiiifxnnxx201102029201220212010一、离散型随机变量的数学期望时称1iiipx为随机变量X的数学期望(简称期望)也称为X的均值记作E(X)为了简明起见也可记作EX1||iiipx(217)若离散型随机变量X的概率分布为P{Xxi}pii12则当定义26(数学期望)例29设盒中有5个球其中2个白球3个黑球从中随意抽取3个球记X为抽取到的白球数求EXX的可能取值为012而且根据古典概型计算有解于是2.1103210611010EX离散型随机变量的数学期望iiipxEX1101CC}0{3533XP106CCC}1{351223XP103CCC}2{352213XP解练习1设离散型随机变量X的概率分布律为161162163162168pkX21012求随机变量X的数学期望87168216211630162)1(161)2()(XE87168216211630162)1(161)2()(XE87168216211630162)1(161)2()(XEiiniiiniixxfxxXPxEX)(}{00提示二、连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量X的密度函数f(x)只在有限区间[ab]上取不为零的值把区间[ab]进行分割ax0x1xn1b将X近似地看成是取值为x0x1xn的离散型随机变量此时分析iiniiiniixxfxxXPxEX)(}{00niiiniiiniixxXPxxXPx111}{}{1)(iixxdxxfiiniixxfx)(1xxxfxxxfEXbad)(d)(当分点越来越密时近似会越来越好令各小区间长度趋于0则有二、连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量X的密度函数f(x)只在有限区间[ab]上取不为零的值把区间[ab]进行分割ax0x1xn1b将X近似地看成是取值为x0x1xn的离散型随机变量此时分析iiniiiniixxfxxXPxEX)(}{00iiniiiniixxfxxXPxEX)(}{00二、连续型随机变量的数学期望定义27(数学期望)若X为连续型随机变量f(x)为其密度函数如果xxfxd)(||则称xxxfd)(为随机变量X的数学期望(简称期望)也称为均值记作E(X)也可记作EX因为f(x)只在有限区间]2π,2π[上不为0且在该区间上为连续函数所以EX存在且.,0,2π||,cosπ2)(2其他xxxf例210设随机变量X的密度函数为求EX解连续型随机变量的数学期望xxxfEXd)(0dcosπ2d)(2π2π2xxxxxxfEX0dcosπ2d)(2π2π2xxxxxxfEX10212d)2(dd)(xxxxxxxxfEX.,0,21,2,10,)(其他xxxxxf例211设随机变量X的密度函数为求EX解显然EX存在且1|)31(|32132103xxx连续型随机变量的数学期望10212d)2(dd)(xxxxxxxxfEXxxxfEXd)((1)若X为离散型随机变量概率分布为P{Xxi}pii12g(x)是一个实函数且1,|)(|iiipxg则Eg(X)存在且iiipxgXEg)()(1(221)三、随机变量函数的数学期望定理21(2)若X为连续型随机变量密度函数为f(x)g(x)是一个实函数且xxfxgd)(|)(|则Eg(X)存在且xxfxgXEgd)()()((222)例212设X的概率分布如下表求E(XEX)2根据例29EX12于是根据定理21(1)有解103)2.12(106)2.11(101)2.10()(2222EXXE10364.010604.010144.1036iiipxgXEg)()(11021d)2(|1|d|1|xxxxxx例213设X的密度函数为.,0,21,2,10,)(其他xxxxxf求E|XEX|根据例211EX1于是由定理21(2)有解31xxfxgXEgd)()()(xxfxXEEXXEd)(|1||1|||解练习2设圆的直径X在区间[ab]上均匀分布求圆面积241XY的数学期望dxxfxXEYE)(4)4()(22dxxfxXEYE)(4)4()(2212)(14222babadxabxba12)(14222babadxabxba四、数学期望的性质性质1对任意常数a有Eaa性质2设a1a2为任意实数g1(x)g2(x)为任意实函数如果Eg1(X)Eg2(X)均存在则E[a1g1(X)a2g2(X)]a1Eg1(X)a2Eg2(X)(223)例214设EXEX2均存在证明E(XEX)2EX2(EX)2(225)EX2(EX)2EX22EXEX(EX)2E[X22XEX(EX)2]E(XEX)2因为(XEX)2X22XEX(EX)2证明于是由(223)得性质3如果EX存在则对任意实数a有E(Xa)EXa(224)说明五、随机变量的方差定义28(方差)设X为一个随机变量其数学期望EX存在如果E(XEX)2也存在则称E(XEX)2为随机变量X的方差记作D(X)或DXXEX称为X的离差一个随机变量的方差粗略地讲反映随机变量偏离数学期望的平均偏离程度DX称为X的标准差五、随机变量的方差定义28(方差)设X为一个随机变量其数学期望EX存在如果E(XEX)2也存在则称E(XEX)2为随机变量X的方差记作D(X)或DX(1)设离散型随机变量X的概率分布为P{Xxi}pii12方差的计算(2)设连续型随机变量X的密度函数为f(x)则DXEX2(EX)2(228)(3)计算方差的常用公式为则iiipEXxEXXEDX22)()((226)则iiipEXxEXXEDX22)()((226)xxfEXXEXXEDXd)()()(22(227)xxfEXXEXXEDXd)()()(22(227)方差的性质设X的方差DX存在a为任意常数则(1)Da0(229)(2)D(Xa)DX(230)(3)D(aX)a2DX(231)例215设X的概率分布如下表已知EX12求DX8.11032106110102222EXDXEX2(EX)2解18(12)2036xxxxxxxfxEXd)2(dd)(21210322例216设X的密度函数为.,0,21,2,10,)(其他xxxxxf已知EX1求DX解因为EX1且67|)432(|42143104xxx从而61167)(22EXEXDX61167)(22EXEXDXxxxxxxxfxEXd)2(dd)(21210322例217X为一随机变量方差存在令l(C)E(XC)2(232)证明当且仅当CEX时l(C)达到最小值此时最小值为DX显然当且仅当CEX时最后一个不等式的等号成立故l(C)在CEX时达到最小值且最小值为DX证明l(C)E(XC)2E[(XEX)(EXC)]2E[(XEX)22(XEX)(EXC)(EXC)2]E(XEX)2(EXC)2E(XEX)2DX