第二节-二重积分的计算法

机动目录上页下页返回结束1一、利用直角坐标计算二重积分三、小结思考题第二节二重积分的计算法二、极坐标系下二重积分的计算机动目录上页下页返回结束2【复习与回顾】(2)回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素dxxAdV)(体积为badxxAV)(在点x处的平行截面的面积为)(xA(1)上节思考题),(lim),(10niiiiDfdyxf0k代替0？不能用机动目录上页下页返回结束3,bxa).()(21xyx其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba一、利用直角坐标系计算二重积分(1)［X－型域］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy【X—型区域的特点】穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.1.【预备知识】机动目录上页下页返回结束4,dyc).()(21yxy(2)［Y－型域］)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxD【Y—型区域的特点】穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.机动目录上页下页返回结束5(3)［既非X－型域也非Y－型域］如图3D2D1D在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)则必须分割..321DDDD由二重积分积分区域的可加性得机动目录上页下页返回结束6(1).若积分区域为X－型域：,bxa).()(21xyx0),(yxf且设为曲顶柱体的体积．为底，以曲面的值等于以则),(),(yxfzDdyxfD2.【二重积分公式推导】【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.],[0bax0xx作平面机动目录上页下页返回结束7)(01x)(02x)()(000201),()(xxdyyxfxAbadxxAV)(.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf即得公式1的二次积分后对上式称为先对xyyxzab0xo)(1xy)(02x)(01x)(2xy)(0xA),()()()(21xxdyyxfxA),(yxfzoyxz)(0xA),(yxfz)(1xy)(2xyab0x机动目录上页下页返回结束8).()(,21yxydycxyoDyx1yx2cd:).2(型域若积分域为YyDdxdyyxf),(.的二次积分后对即化二重积分为先对yx3.【二重积分的计算步骤可归结为】①画出积分域的图形，标出边界线方程；②根据积分域特征，确定积分次序；③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。)()(21),(yydxyxfdcdy公式2机动目录上页下页返回结束9【说明】(1)使用公式1必须是X－型域，公式2必须是(2)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分次序,必要时还可交换积分次序.则有yyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdcx)(1xyy(3)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域.321DDDDoxy1D2D3DY－型域.机动目录上页下页返回结束104.【例题部分】【例1】.2,1,所围闭区域及：由其中计算xyxyDxydD【解Ⅰ】看作X－型域xyxDX121:2112121]2[dxyxxydydxxydxxD811)22(213dxxx12oxyy=xy=1Dx机动目录上页下页返回结束11【解Ⅱ】看作Y－型域221:xyyDY2122221]2[dyxyxydxdyxydyyD811)22(213dyyy12oxyx=yx=2Dy12机动目录上页下页返回结束12【例2】.1,1,:,122所围闭区域和由计算yxxyDdyxyD【解】D既是X—型域又是—Y型域111:yxxDX［法1］122111xdyyxydx上式21－111xoy=xDxy机动目录上页下页返回结束13［法2］yxyDY111:ydxyxydy122111原式注意到先对x的积分较繁，故应用法1较方便－111yoy=xD－1xy注意两种积分次序的计算效果！机动目录上页下页返回结束14【例3】所围闭区域及：由其中计算2,2xyxyDxydD【解】D既是X—型域又是Y—型域先求交点(4,2)(1,-1)22或由xyxy机动目录上页下页返回结束15［法1］221:2yxyyDY［法2］2212yyDxydxdyxyd855视为X—型域xyxxD10:1xyxxD241:221DDD则必须分割21DDDxydxxxxxydydxxydydx24110计算较繁本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！机动目录上页下页返回结束16【小结】以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性(易积)机动目录上页下页返回结束175.【简单应用】【例4】求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.【解】xyzRRo设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz2200:),(xRyRxDyxXxxRRd8022机动目录上页下页返回结束18【例5】2,2的面积所围区域应用二重积分求由曲线Dxyxy【解】据二重积分的性质4（几何意义）Ddxdy交点22xyxy)4,2()1,1(，221:2xyxxDX212221)2(2dxxxdydxxx29机动目录上页下页返回结束196.【补充】改变二次积分的积分次序例题【补例1】交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI【解】积分域由两部分组成:,020:2211xyxDX822yx2D22yxo21D221xy22280222:xyxDX21DDD将:D视为Y–型区域,则282yxy20yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy机动目录上页下页返回结束20【补例2】求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.dyey2无法用初等函数表示【解】积分时必须考虑次序Dydxdyex22yydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61e机动目录上页下页返回结束21【补例3】.10,10:,||2yxDdxyID为其中计算积分【解】当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。:212DDDxy和分为两部分将oxy112xy1D2DI1)(2Ddxy2)(2Ddyx101154［分析］机动目录上页下页返回结束22AoDiirriirrriiiiiiiiirrr2221)(21iiiiirrr2)(21则得略去高阶的无穷小量，若更是比时当,)(21)(,)0,0(),(22iiiiiiiirrrr,iiiirr二、极坐标系下二重积分的计算机动目录上页下页返回结束23.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxf从而得极坐标系下的面积元素为rdrdd又由点的极坐标与直角坐标之间的关系，sin,cosryrx)sin,cos(),(rrfyxf故在极坐标下，二重积分化为.的极坐标表示表示区域其中DD机动目录上页下页返回结束24.)sin,cos(),(DDddfdxdyyxf则二重积分极坐标表达式【注意】极坐标系下的面积元素为ddd直角坐标系下的面积元素为ddxdy区别机动目录上页下页返回结束25.)sin,cos()()(21dfdDddf)sin,cos(2.二重积分化为二次积分的公式区域特征如图,).()(21（1）极点O在区域D的边界曲线之外时ADo)(1)(2机动目录上页下页返回结束26若区域特征如图,).()(21.)sin,cos()()(21dfdDddf)sin,cos(AoD)(2)(1特别地机动目录上页下页返回结束27AoD)(.)sin,cos()(0dfd（2）极点O恰在区域D的边界曲线之上时区域特征如图,).(0Dddf)sin,cos(（1）的特例机动目录上页下页返回结束28Dddf)sin,cos(.)sin,cos()(020dfd3.极坐标系下区域的面积.Ddd区域特征如图).(0DoA)(,20（3）极点O在区域D的边界曲线之内时（2）的特例机动目录上页下页返回结束29【例1】写出积分Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD}10x.1yx122yx【解】在极坐标系下sincosyx所以圆方程为1,直线方程为cossin1,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1dfd机动目录上页下页返回结束30【例2】计算dxdyeDyx22，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.【解】在极坐标系下D：a0，20.dxdyeDyx22aded0202).1(2aexyo的原函数不是初等函数,故本题无法【注】1.由于用直角坐标计算.2xe机动目录上页下页返回结束31【注】2.利用例2可得到一个在概率论与数理统计中以及工程上非常有用的反常积分公式2d02xex事实上,当D为R2时,利用例2的结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结束32【例3】计算dxdyyxD)(22，其中D为由圆yyx222，yyx422及直线yx30，03xy所围成的平面闭区域.3261sin4rDyxyxdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203yx【解】03xysin2roxy2436d机动目录上页下页返回结束33二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）三、小结.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf［Y－型］［X－型］【练习】课本P95习题9-2机动