2-3-高阶导数

上一页下一页目录上一页下一页目录2.3高阶导数★高阶导数的定义☆例2.3.1-例2.3.2☆例2.3.3☆例2.3.4★引例★内容小结★思考题★练习题上一页下一页目录t时刻加速度为自由落体的运动方程为，所以t时刻瞬时速度为212sgt21()2dsgttvdgt()advgtdtg这里的加速度a就是路程函数S(t)对时间t的导数的导数,称为S(t)对t的二阶导数,记为S(t),即a(t)=S(t)返回上一页下一页目录定义2.3.1如果函数f(x)的导数在x点处仍可导，则称在x点处的导数为函数f(x)在x点处的二阶导数，记为22d(),dfxx(),fx()fx,y或()fx22d,dyx类似地,二阶导数的导数称作函数的三阶导数，记为33d(),dfxx(),fx,y或33d,dyx返回上一页下一页目录一般地,f(x)的n-1阶导数的导数称为f(x)的n阶导数，d(),dnnfxx()(),nfx(),ny或d,dnnyx二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。()fx相应地，称为零阶导数；返回()fx称为一阶导数。记为：n阶导数的记法可以用于二阶和三阶导数。上一页下一页目录例2.3.1解(5)(6)0yy返回32463,yxx21212,yxx'2412,yx(4)24,y幂函数求高阶导数的规律：nyx若，()!nyn则，()0nky。()kN上一页下一页目录例2.3.2解归纳可得返回此方法称为归纳法异于数学归纳法应用归纳法所得通式须经数学归纳法证明方可确认成立。,xye,xye',xye(4),xye()nxye。上一页下一页目录补例：解归纳可得返回ln,xyaa(ln)'xyaa3'ln,xyaa(4)4ln,xyaa()ln。nxnyaaln()'xaaln(ln)xaaa2lnxaa上一页下一页目录求高阶导数的方法1、求较低阶数的高阶导数（如1～5阶）时，逐阶求导。返回2、求较高阶数的高阶导数，或求不确定阶数的n阶导数时，先逐阶求出1-3阶或4阶（一般不超过5阶）导数后，不要急于对结果合并化简，而是分析各阶导数结果按阶数表达的规律性，据此归纳出n阶导数的表达式。——逐阶求导，寻求规律，写出通式n阶导数通式作为公式使用之前，须应用数学归纳法进行证明。上一页下一页目录高阶导数通式中的常见元素•1、符号函数：各阶导数正负相间时•⑴一阶导数带“+”号时，为(-1)n+1或(-1)n-1;•⑵一阶导数带“-”号时，为(-1)n。•2、常数系数：可以是奇数2n+1，偶数2n，k次幂nk，阶乘n!，等差数列，等比数列，等等，为各类常数数列。•3、变量的乘幂。规则：都是n的函数。上一页下一页目录例2.3.3.),1ln()(nyxy求设解法一：由于11yx21(1)yx312(1)(1)(1)yx(4)4123(1)(1)(1)(1)yx()1(1)!(1)(1)(1)nnnnynx返回归纳得出按阶数表达的通式为：010(1)(1)x！；121(1)(1)x！；232!(1)(1)x343!(1)(1)x上一页下一页目录例2.3.3.),1ln()(nyxy求设解法二：11yx21(1)yx23(1)12(1)yx(4)34(1)123(1)yx()1(1)(1)!(1)nnnynx返回归纳得出按阶数表达的通式为：01(1)0(1)x！；12(1)1(1)x！；23(1)2!(1)x34(1)3!(1)x1(1)x1(1)!(1)(1)nnnx(1)n倒数式化为负指数式利于求导上一页下一页目录例2.3.4求正弦函数和余弦函数的n阶导数可见，继续导下去就出现循环往复，说明必须在这四阶导数中找出表达规律。返回分析：cos,yxsin,yx'cos,yx(4)sin,yx但由于函数名称不断改变，打破了规律，所以应该设法使各阶导数表达为同一函数，考虑应用三角函数的诱导公式:2xxcossin()将每次的导数结果余弦转化为正弦，即解决问题。对ysinx求导得上一页下一页目录例2.3.4求正弦函数和余弦函数的n阶导数归纳可得：返回解：由ysinx得'cosyxsin()2xcos()2yxsin[()]22xsin(2)2x'cos(2)2yxsin(3)2x()sin()2nynx()sin)sin()2nxnx即(()cos)cos()2nxnx类似可得(sin[(2)]22x上一页下一页目录小结1、高阶导数的定义;2、高阶导数的运算法则3、n阶导数的求法。返回