实验五-用Newton法计算方程的根

佛山科学技术学院实验报告课程名称数值分析实验项目用Newton法和steffensen加速法计算方程的根专业班级姓名学号指导教师成绩日期一.实验目的1、在计算机上用迭代法求非线性方程()0fx的根。二.实验要求1、按照题目要求完成实验内容；2、写出相应的Matlab程序；3、给出实验结果(可以用表格展示实验结果)；4、分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。5、写出实验报告。三.实验步骤1、用Matlab编写Newton法和Steffensen加速法程序2、用Newton法求解书本P229例题4，Steffensen加速法计算P255例题1。3、用调试好的程序解决如下问题求020sin35xxex的根，其中控制精度1010eps，最大迭代次数40M。编制计算函数值的程序：四.实验结果1、用Matlab编写Newton法和Steffensen加速法程序；利用Newton法求方程的根：function[x_star,index,it]=Newton(fun,x,ep,it_max)%求解非线性方程的Newton法，其中%fun(x)---需要求根的函数，%第一个分量是函数值，第二个分量是导数值%x---初始点。%ep---精度，当|(x(k)-x(k-1)|ep时，终止计算。省缺为1e-5%it_max---最大迭代次数，省缺为100%x_star---当迭代成功时，输出方程的根，%当迭代失败时，输出最后的迭代值。%index---当index=1时，表明迭代成功，%当index=0时，表明迭代失败（迭代次数=it_max）。%it---迭代次数。ifnargin4it_max=100;endifnargin3ep=1e-5;endindex=0;k=1;whilek=it_maxx1=x;f=feval(fun,x);ifabs(f(2))epbreak;endx=x-f(1)/f(2);ifabs(x-x1)epindex=1;break;endk=k+1;endx_star=x;it=k;利用steffensen加速迭代方法：function[x_star,index,it]=steffensen(phi,x,ep,it_max)%Steffensen加速方法%phi(x)---迭代函数%x---初始点。%ep---精度，当|(x(k)-x(k-1)|ep时，终止计算。省缺为1e-5%it_max---最大迭代次数，省缺为100%x_star---当迭代成功时，输出方程的根，%当迭代失败时，输出最后的迭代值。%index---当index=1时，表明迭代成功，%当index=0时，表明迭代失败（迭代次数=it_max）。%it---迭代次数。ifnargin4it_max=100;endifnargin3ep=1e-5;endindex=0;k=1;whilek=it_maxx1=x;y=feval(phi,x);z=feval(phi,y);x=x-(y-x)^2/(z-2*y+x);ifabs(x-x1)epindex=1;break;endk=k+1;endx_star=x;it=k;2、用Newton法求解书本P229例题4，Steffensen加速法计算P255例题1。用Newton法计算书本P229例题4。（求方程f(x)=x^3-x-1=0在区间[1,2]内的根）fun=inline('[x^3-x-1,3*x^2-1]');[x_star,index,it]=Newton(fun,1.5)书本P255例题1:求x=x^3-1在x0=1.5附近解。phi=inline('x^3-1');[x_star,index,it]=steffensen(phi,1.5)3、用调试好的程序解决如下问题求020sin35xxex的根，其中控制精度1010eps，最大迭代次数40M。编制计算函数值的程序：由上面利用Newton法求方程的根的程序知：%ep---精度，当|(x(k)-x(k-1)|ep时，终止计算。省缺为1e-5%it_max---最大迭代次数，省缺为100ifnargin4it_max=100;endifnargin3ep=1e-5;end我们只需改动：it_max=40;ep=1e-10，其余不变。利用以上程序，我们只需输入：fun=inline('[exp(5*x)-sin(x)+(x)^3-20,5*exp(5*x)-cos(x)+3*(x)^2]');[x_star,index,it]=Newton(fun,0.5)，可得：x_star=0.602596203566521index=1it=6同理，在steffensen加速迭代方法的程序中，我们只需改动：it_max=40;ep=1e-10，其余不变。利用以上程序，我们只需输入：phi=inline('exp(5*x)-sin(x)+(x)^3-20');[x_star,index,it]=steffensen(phi,0.5)可得：x_star=0.637246094753909index=0it=41五.讨论分析当初始值选取离零点较远时将导致算法无法使用，例如第三题，将初始值改为2就无法计算出结果了，显示如下例如求020sin35xxex的根，其中控制精度1010eps，最大迭代次数40M,在steffensen加速迭代方法的程序中，我们只需改动：it_max=40;ep=1e-10，其余不变。利用以上程序，我们只需输入：phi=inline('exp(5*x)-sin(x)+(x)^3-20');[x_star,index,it]=steffensen(phi,0.5)可得：x_star=0.637246094753909index=0it=41观察上述结果，index=0，it=41表明迭代失败，所以使用以上方法估计的时候，应该尽量估计出解的范围，偏离不应过大，距离增加迭代次数增加，也有可能迭代失败六.改进实验建议根据上述分析，我认为，应该先对函数作一个简图，方便知道解的大概位置，然后我们才将这个大概值代入Newton法或者Steffensen中进行求解。当然，我们可以用其他数学软件实现Newton迭代法，我们可以用z-z超级画板，其操作流程为：牛顿迭代法的公式是：xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)。下面我们就用牛顿迭代法设计程序求方程f(x)=ln(x)+2*x-6的近似解。（一）观察方程f(x)=0的零点位置（1）显示坐标系的坐标刻度。（2）作出函数y=ln(x)+2*x-6的图像，如下图所示：可以观察到方程的根在区间[2，3]上，我们可以设定近似解的初始值为2。（二）设计求方程近似解的程序（1）在程序工作区中输入：f(x){ln(x)+2*x-6;}执行后，返回结果为：f(x)#这表示在计算机已经完成了函数f(x)的定义。（2）定义f(x)的导函数g(x)，在程序工作区中输入：Diff(f(x),x);执行后，返回结果为：2+1/x#得到了f(x)的导函数。继续输入：g(x){2+1/x;}这表示在计算机已经完成了函数g(x)的定义。（3）在下面输入：NewtonMethod(x0,h){x=x0-f(x0)/g(x0);if(abs(x-x0)=h){returnx;}else{NewtonMethod(x,h);}}}执行后，返回结果为：NewtonMethod(x0,h)#这表示在计算机已经完成了函数NewtonMethod(x0,h)的定义。（三）设定初值为2、要求误差不大于0.001的近似解（1）在下面输入：Float(1);执行后，返回结果为：计算结果显示浮点数#（2）在下方继续输入：NewtonMethod(2,0.001);执行命令最后的返回结果是：(-2*ln(2)*ln((-2*ln(2)+14)/(5))*ln((2*ln(2)*ln((-2*ln(2)+14)/(5))-14*ln(2)-14*ln((-2*ln(2)+14)/(5))+98)/(-4*ln(2)+33))+14*ln(2)*ln((-2*ln(2)+14)/(5))+14*ln(2)*ln((2*ln(2)*ln((-2*ln(2)+14)/(5))-14*ln(2)-14*ln((-2*ln(2)+14)/(5))+98)/(-4*ln(2)+33))-98*ln(2)+14*ln((-2*ln(2)+14)/(5))*ln((2*ln(2)*ln((-2*ln(2)+14)/(5))-14*ln(2)-14*ln((-2*ln(2)+14)/(5))+98)/(-4*ln(2)+33))-98*ln((-2*ln(2)+14)/(5))-98*ln((2*ln(2)*ln((-2*ln(2)+14)/(5))-14*ln(2)-14*ln((-2*ln(2)+14)/(5))+98)/(-4*ln(2)+33))+686)/(4*ln(2)*ln((-2*ln(2)+14)/(5))-32*ln(2)-28*ln((-2*ln(2)+14)/(5))+229)=2.53492#其中前半部分是没有处理的精确值，最后是浮点数表示的结果2.53492。观察以上程序，显然比较简单，可以直接计算出函数精确值，这也为我们提供了另外一种方法实现Newton迭代。同理，我们一样可以在该软件实现Steffensen迭代法，在这就不展开了。综合以上有关z-z操作内容是我最近在学的一个软件，虽然学得还不是很好，但有关的程序可以在不同软件实现，我觉得可以多去操作，不同的数学软件可以解决不同的数学问题，但很多还是有共性，所以这有待我进一步学习。