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江苏省启东中学高三数学回归书本知识整理(解析几何)直线部分一、直线的倾斜角和斜率:(1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角。注意:规定当直线和x轴平行或重合时,其倾斜角为o0,所以直线的倾斜角的范围是oo1800;(2)直线的斜率:倾斜角不是o90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,tank①斜率是用来表示倾斜角不等于o90的直线对于x轴的倾斜程度的。②每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率(直线垂直于x轴时,其斜率不存在),这就决定了我们在研究直线的有关问题时,应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否则会产生漏解。③斜率计算公式:设经过),(11yxA和),(22yxB两点的直线的斜率为k,则当21xx时,2121tanxxyyk;当21xx时,o90;斜率不存在;二、直线方程的几种形式:(1)点斜式:过已知点),(00yx,且斜率为k的直线方程:)(00xxkyy;注意:①当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0xx;②kxxyy00表示:)(00xxkyy直线上除去),(00yx的图形。(2)斜截式:若已知直线在y轴上的截距为b,斜率为k,则直线方程:bkxy;注意:正确理解“截距”这一概念,它具有方向性,有正负之分,与“距离”有区别。(3)两点式:若已知直线经过),(11yx和),(22yx两点,且(2121,yyxx),则直线的方程:121121xxxxyyyy;注意:①不能表示与x轴和y轴垂直的直线;②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112xxyyyyxx时,方程可以适应在于任何一条直线。(4)截距式:若已知直线在x轴,y轴上的截距分别是a,b(0,0ba)则直线方程:1byax;注意:不能表示与x轴垂直的直线,也不能表示与y轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线,要谨慎使用。(5)参数式:btyyatxx00(t为参数)其中方向向量为),(ba,),(2222babbaa;abk;22||||batPPo;点21,PP对应的参数为21,tt,则222121||||battPP;sincos00tyytxx(t为参数)其中方向向量为)sin,(cos,t的几何意义为||oPP;斜率为tan;倾斜角为)0(。(6)一般式:任何一条直线方程均可写成一般式:0CByAx;(BA,不同时为零);反之,任何一个二元一次方程都表示一条直线。注意:①直线方程的特殊形式,都可以化为直线方程的一般式,但一般式不一定都能化为特殊形式,这要看系数CBA,,是否为0才能确定。②指出此时直线的方向向量:),(AB,),(AB,),(2222BAABAB(单位向量);直线的法向量:),(BA;(与直线垂直的向量)三、两直线的位置关系:位置关系222111::bxkylbxkyl0:0:22221111CyBxAlCyBxAl平行21kk,且21bb212121CCBBAA重合21kk,且21bb212121CCBBAA相交21kk2121BBAA垂直121kk02121BBAA设两直线的方程分别为:222111::bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl;当21kk或1221BABA时它们相交,交点坐标为方程组2211bxkybxky或00222111CyBxACyBxA解;注意:①对于平行和重合,即它们的方向向量(法向量)平行;如:),(),(2211BABA对于垂直,即它们的方向向量(法向量)垂直;如0),(),(2211BABA②若两直线的斜率都不存在,则两直线平行;若一条直线的斜率不存在,另一直线的斜率为0,则两直线垂直。③对于02121BBAA来说,无论直线的斜率存在与否,该式都成立。因此,此公式使用起来更方便.④斜率相等时,两直线平行(重合);但两直线平行(重合)时,斜率不一定相等,因为斜率有可能不存在。四、两直线的交角(1)1l到2l的角:把直线1l依逆时针方向旋转到与2l重合时所转的角;它是有向角,其范围是0;注意:①1l到2l的角与2l到1l的角是不一样的;②旋转的方向是逆时针方向;③绕“定点”是指两直线的交点。(2)直线1l与2l的夹角:是指由1l与2l相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角),它的取值范围是20;(3)设两直线方程分别为:222111::bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl①若为1l到2l的角,12121tankkkk或21211221tanBBAABABA;②若为1l和2l的夹角,则12121tankkkk或21211221tanBBAABABA;③当0121kk或02121BBAA时,o90;注意:①上述与k有关的公式中,其前提是两直线斜率都存在,而且两直线互不垂直;当有一条直线斜率不存在时,用数形结合法处理。②直线1l到2l的角与1l和2l的夹角:)2(或)2(;五、点到直线的距离公式:设点),(00yxP和直线0:CByAxl,点P到l的距离为:2200||BACByAxd;两平行线0:1111CyBxAl,0:2222CyBxAl的距离为:2221||BACCd;六、直线系:(1)设直线0:1111CyBxAl,0:2222CyBxAl,经过21,ll的交点的直线方程为0)(222111CyBxACyBxA(除去2l);如:①011kxykxy,即也就是过01y与0x的交点)1,0(除去0x的直线方程。②直线5)12()1(:mymxml恒过一个定点。注意:推广到过曲线0),(1yxf与0),(2yxf的交点的方程为:0)()(21xfxf;(2)与0:CByAxl平行的直线为0'CByAx;(3)与0:CByAxl垂直的直线为0'CAyBx;七、对称问题:(1)中心对称:①点关于点的对称:该点是两个对称点的中点,用中点坐标公式求解,点),(baA关于),(dcC的对称点)2,2(bdac②直线关于点的对称:Ⅰ、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再由两点式求出直线方程;Ⅱ、求出一个对称点,在利用21//ll由点斜式得出直线方程;Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如:求与已知直线0632:1yxl关于点)1,1(P对称的直线2l的方程。(2)轴对称:①点关于直线对称:Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐标公式求解。如:求点)5,3(A关于直线0443:yxl对称的坐标。②直线关于直线对称:(设ba,关于l对称)Ⅰ、若ba,相交,则a到l的角等于b到l的角;若la//,则lb//,且ba,与l的距离相等。Ⅱ、求出a上两个点BA,关于l的对称点,在由两点式求出直线的方程。Ⅲ、设),(yxP为所求直线直线上的任意一点,则P关于l的对称点'P的坐标适合a的方程。如:求直线042:yxa关于0143:yxl对称的直线b的方程。八、简单的线性规划:(1)设点),(00yxP和直线0:CByAxl,①若点P在直线l上,则000CByAx;②若点P在直线l的上方,则0)(00CByAxB;③若点P在直线l的下方,则0)(00CByAxB;(2)二元一次不等式表示平面区域:对于任意的二元一次不等式)0(0CByAx,①当0B时,则0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域;0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域;②当0B时,则0CByAx表示直线0:CByAxl下方的区域;0CByAx表示直线0:CByAxl上方的区域;注意:通常情况下将原点)0,0(代入直线CByAx中,根据0或0来表示二元一次不等式表示平面区域。(3)线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解),(yx叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。注意:①当0B时,将直线0ByAx向上平移,则ByAxz的值越来越大;直线0ByAx向下平移,则ByAxz的值越来越小;②当0B时,将直线0ByAx向上平移,则ByAxz的值越来越小;直线0ByAx向下平移,则ByAxz的值越来越大;如:在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界),目标函数ayxz取得最小值的最优解有无数个,则a为;圆部分一、曲线和方程:在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程0),(yxf的实数解建立了:①曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(纯粹性)②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点;(完备性)那么这个方程叫做曲线方程,这条曲线叫做方程的曲线。二、圆的定义及其方程.(1)圆的定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆,定点叫做圆心,定长就是半径;(圆心是定位条件,半径是定型条件)(2)圆的标准方程:)0()()(222rrbyax;圆心),(ba,半径为r;圆的参数方程:(sincosrbyrax为参数);理解的含义;圆的一般方程:)04(02222FEDFEyDxyx;圆心)2,2(ED,半径为FED42122;一般方程的特点:①2x和2y的系数相同,且不等于零;②没有xy这样的二次项;③0422FED;特别地,圆心在坐标原点,半径为r的半圆的方程是222ryx;sincosryrx;若),(),(2211yxByxA,,则以线段AB为直径的圆的方程是:0))(())((2121yyyyxxxx;三、点与圆的位置关系(仅以标准方程为例,其他形式,则可化为标准式后按同样方法处理)设),(00yxP与圆222)()(rbyax;若P到圆心之距为d;①P在在圆C外22020)()(rbyaxrd;②P在在圆C内22020)()(rbyaxrd;③P在在圆C上22020)()(rbyaxrd;xyOA(1,1)B(5,1)C(4,2)四、直线与圆的位置关系:设直线0:CByAxl和圆222)()(:rbyaxC,圆心C到直线l之距为d,由直线l和圆C联立方程组消去x(或y)后,所得一元二次方程的判别式为,则它们的位置关系如下:相离0rd;相切0rd;相交0rd;注意:这里用d与r的关系来判定,称为几何法,只有对圆才实用,也是最简便的方法;利用判定称为代数法,对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。五、两圆的位置关系:(1)代数法:解两个圆的方程所组成的二元二次方程组;若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交;若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切;若无实数解,两圆相离。(2)几何法:设圆1O的半径为1r,圆2O的半径为2r①两圆外离2121||rrOO;②两圆外切2121||rrOO;③两圆相交212112||||rrOOrr;④两圆
本文标题:高三数学解析几何知识整理
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