§8.4-多元复合函数的求导法则---吉林化工学院

上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology§8.4多元复合函数的求导法则一、链式法则二、全微分不变性上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology证),t()tt(u则);t()tt(v一、链式法则定理如果函数)t(u及)t(v都在点t可导，函数)v,u(fz在对应点)v,u(具有连续偏导数，则复合函数)]t(),t([fz在对应点t可导，且其导数可用下列公式计算：dtdvvzdtduuzdtdz．，获得增量设tt上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology由于函数)v,u(fz在点)v,u(有连续偏导数,vuvvzuuzz21当0u，0v时，01，02tvtutvvztuuztz21当0t时，0u，0v,dtdutu,dtdvtv上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology.dtdvvzdtduuztzlimdtdz0t上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdzuvwtz以上公式中的导数称为全导数.dtdz上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：)].y,x(),y,x([fz如果)y,x(u及)y,x(v都在点)y,x(具有对x和y的偏导数，且函数)v,u(fz在对应点)v,u(具有连续偏导数，则复合函数)]y,x(),y,x([fz在对应点)y,x(的两个偏导数存在，且可用下列公式计算xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz.上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnologyuvxzy链式法则如图示xzzuuxzv,vxyzzuuyzv.vy上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology类似地再推广，设)y,x(u、)y,x(v、)y,x(ww都在点)y,x(具有对x和y的偏导数，复合函数)]y,x(w),y,x(),y,x([fz在对应点)y,x(的两个偏导数存在，且可用下列公式计算xwwzxvvzxuuzxz,ywwzyvvzyuuzyz.zwvuyx上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology特殊地)y,x,u(fz)y,x(u即],y,x),y,x([fz,xfxuufxz.yfyuufyz令,xv,yw其中,1xv,0xw,0yv.1yw把复合函数]y,x),y,x([fz中的y看作不变而对x的偏导数把)y,x,u(fz中的u及y看作不变而对x的偏导数两者的区别区别类似上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology解：例1设zu2lnv而v3x2y求yxuxzyzxvvzxuuzxz31ln22vuyvu222)23(3)23ln(2yyxxyxyxyvvzyuuzyz)2()(ln222vuyxvu2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology设zf(uv)u(xy)v(xy)则讨论提示xvvzxuuzxzyvvzyuuzyzdtdvvzdtduuzdtdz设zf(uv)u(t)v(t)则(1)设zf(uv)u(xy)v(y)则xz？yz？(2)设zf(uxy)且u(xy)则xz？yz？(1)xuuzxzdydvvzyuuzyz(2)xfxuufxzyfyuufyz(1)xuuzxzdydvvzyuuzyz(2)xfxuufxzyfyuufyz上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology设zf(uxy)且u(xy)则yxyxeyyxy2422sin4)cossin(2解xfxuufxzyfyuufyz例2例2设uf(xyz)222zyxe而zx2sinyyuxu和求yxyxeyxx2422sin22)sin21(2解xzzfxfxuyxzexezyxzyxsin222222222yzzfyfyuyxzeyezyxzyxcos222222222解xzzfxfxuyxzexezyxzyxsin222222222解xzzfxfxuyxzexezyxzyxsin222222222解xzzfxfxuyxzexezyxzyxsin222222222yzzfyfyuyxzeyezyxzyxcos222222222yzzfyfyuyxzeyezyxzyxcos222222222yzzfyfyuyxzeyezyxzyxcos222222222上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology解:例3设zarcsin(xy)而x3ty4t3求.dtdzdtdyyzdtdxxzdtdz22212)(113)(11tyxyx232)43(1)41(3ttt上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology引入记号uvuff),(1vuvuff),(12同理有2f11f22f等提示1211111fxyfzvvfzuufzf1211111fxyfzvvfzuufzf1211111fxyfzvvfzuufzf提示解令uxyzvxyz则wf(uv)2221222fxyfzvvfzuufzf2221222fxyfzvvfzuufzf2221222fxyfzvvfzuufzf22221211)(fzxyfyfzxyf例4设wf(xyzxyz)f具有二阶连续偏导数求xw及zxw221fyzfxvvfxuufxw21fyzfxvvfxuufxwzfyzfyzffyzfzzxw221212)(zfyzfyzffyzfzzxw221212)(2222121211fzxyfyzfyfxyf2222121211fzxyfyzfyfxyf2222121211fzxyfyzfyfxyf上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology应用复合函数求导法则得两式平方后相加得解uf(xy)f(cossin)F()其中xcosθysinθ22yxxyarctanxuxuxu2yuxusincosyuuyuyuyu2xuyucossinuu22222)(1)()()(uuyuxu22)()(yuxu例5设uf(xy)具有连续的偏导数把转换成极坐标系中的形式xuxuxu2yuxusincosyuuxuxuxu2yuxusincosyuuyuyuyu2xuyucossinuuyuyuyu2xuyucossinuu22222)(1)()()(uuyuxu上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology设zf(uv)具有连续偏导数则有全微分二全微分形式不变性如果zf(uv)具有连续偏导数而u(xy)v(xy)也具有连续偏导数则dvvzduuzdzdyyzdxxzdzdyyvvzyuuzdxxvvzxuuz)()()()(dyyvdxxvvzdyyudxxuuzdvvzduuz上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology由此可见无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数它的全微分形式是一样的这个性质叫做全微分形式不变性设zf(uv)具有连续偏导数则有全微分全微分形式不变性如果zf(uv)具有连续偏导数而u(xy)v(xy)也具有连续偏导数则dvvzduuzdzdyyzdxxzdzdvvzduuz上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology例6设zeusinvuxyvxy利用全微分形式不变性求全微分解exy[ysin(xy)cos(xy)]dx(yeusinveucosv)dx(xeusinveucosv)dyeusinveusinvexy[xsin(xy)cos(xy)]dydveucosvdu(dxdy)eucosv(ydxxdy)dvvzduuzdz上页下页返回退出JlinInstituteofChemicalTechnology1、链式法则（分三种情况）2、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）小结