07-08线性代数A答案和评分标准

华南农业大学期末考试试卷（A卷）2007学年第二学期考试科目：线性代数考试类型：闭卷考试时间：120分钟一.选择题（每题3分，共15分）1.设BA,是任意n阶方阵，那么下列等式必成立的是（）（A）BAAB（B）222)(BAAB（C）2222)(BABABA（D）ABBA解答：选D由于矩阵乘法没有交换律，所以A，B，C这些需要交换律成立才能推出的等式不一定成立2.如果n元齐次线性方程组0Ax有基础解系并且基础解系含有)(nss个解向量，那么矩阵A的秩为（）（A）n（B）s（C）sn（D）以上答案都不正确解答:选C齐次线性方程组中未知数的个数n，基础解系中向量个数s，系数矩阵的秩r之间的关系为rsn3.如果三阶方阵33)(ijaA的特征值为5,2,1，那么332211aaa及A分别等于（）（A）10，8（B）8，10（C）-10，-8（D）-8，-10解答：选B设方阵的特征值为n,,,21，则nATr21)(，nA21所以8521)(332211ATraaa，10521A4.设实二次型2121211422),(),(xxxxxxf的矩阵为A，那么（）（A）1332A（B）1422A（C）1212A（D）1001A解答：选A2221212162),(xxxxxxf，注意到二次型的矩阵一定是对称矩阵，因此由2121222121211332),(62),(xxxxxxxxxxf知，二次型的矩阵为1332A5.若方阵A的行列式0A，则（）（A）A的行向量组和列向量组均线性相关；（B）A的行向量组线性相关，列向量组线性无关；（C）A的行向量组和列向量组均线性无关；（D）A的列向量组线性相关，行向量组线性无关解答：选A方阵的行列式为零，说明方阵为降秩矩阵，即方阵的秩nAR)(，从而n个行向量组成的向量组的秩nAR)(，说明最大无关组中向量个数nAR)(，即多于)(AR个向量时一定线性相关，因此n个行向量))((ARn线性相关。同理n个列向量线性相关这个结论是一个充分必要条件，即方阵的行列式为零行（列）向量组线性相关；方阵的行列式不为零行（列）向量组线性无关二.填空题（每题3分，共30分）1.如果行列式D有两列的元对应成比例，那么该行列式等于____解答：0判断行列式等于零常用的几个结论：（1）若行列式某行（列）全部为零，则行列式等于零；（2）若行列式有两行（列）相等，则行列式等于零；（3）若行列式有两行（列）对应成比例，则行列式等于零2.设143012001A，*A是A的伴随矩阵，则1*)(A____解答：A（也可以填具体矩阵143012001）关于矩阵，逆矩阵，伴随矩阵的两个基本等式：IAAAAA**，IAAAA11其他结论都是由这两个等式推导出来的，常用的有1*AAA，11AA，1*nAA对于本题，由于IAAA*，因此IAAA*1，说明AAA1)(1*由于A为下三角阵，行列式1A，因此143012001)(1*AA3.设,是非齐次线性方程组bAx的解，若也是它的解，那么____解答：1由,是bAx的解知bAbA,由是bAx的解知bbAAAb)(从而0)1(b，由于bAx是非齐次方程组，所以b为非零向量，于是01，即14.设向量T)1,1,1(与向量Tt),5,2(正交，则t____解答：3两向量正交，则内积为零，所以052)1,1,1(t，即052t，从而3t5.设A为正交矩阵，则A____解答：1或-1（也可以填1）根据正交矩阵的定义，IAAT，从而1TAA，1TAA，而AAT，所以12A，于是1A6.设cba,,是互不相同的三个数，则行列式222111cbacba____解答：))()((bcacab这是三阶的范德蒙行列式，可以直接用结论，也可以直接计算222222222220011111112123acabacabacabacabcbacbaarrrar))()((11))((bcacabacabacab还可以用范德蒙行列式的计算方法计算)()(00111)()(01111111223222accabbacabaccabbcbacbacbaarrarr))()((11))(()()(bcacabcbacabaccabbacab7.要使向量组TTT)1,0,1(,)3,2,1(,)1,,1(321线性相关，则____解答：0方法1：由于向量组线性相关，因此齐次线性方程组0332211kkk有非零解从而其系数矩阵的行列式013102111，从而0方法2：向量组线性相关，则以这些向量为列组成的矩阵的秩小于其列数，即矩阵的秩小于3，矩阵为降秩矩阵，其行列式等于零，即013102111，解得08.三阶可逆矩阵A的特征值分别为3,2,1，那么1A的特征值分别为____解答：31,21,1设为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量，则xAx，两边左乘1A得，xAx1，从而xxA11这表明，若为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量，则1就是1A的特征值，而且对应的特征向量仍为x9.若二次型3231212322213214225),,(xxxxxtxxxxxxxf是正定的，则t的取值范围为____解答：054t二次型的矩阵为5212111ttA，二次型正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都为正，即0451225010122tttt，即0450122ttt，解得054t10.设A为n阶方阵，且满足0422IAA，那么1A____解答：IA2141由0422IAA得，IAA422，即IIAA4)2(，所以IIAA)2(41，这表明IAIAA2141)2(411三.计算题（每题9分，共27分）1.已知001001,210121012BA，求矩阵X使之满足BXAX解答：由BXAX得BXAX，即BXIA)(（注意：现在还不能推导出BIAX1)(，因为还没有说明矩阵IA是可逆的，所以不可以出现1)(IA）110111011IA，下面用初等行变换求IA的逆矩阵，从而说明它是可逆的1110100111000010111001100111000010111001100101110010112312rrrr0111001110101100011110100111001100013231rrrr所以011111110)(1IA，从而111110001001011111110)(1BIAX2.求行列式3214214314324321的值解答：123012101210111110321421431432111110321421431432101010103214214314324321141312413121432rrrrrrrrrrrr160)4()4(11104000040012101111104400040012101111103424233rrrrrr3.求向量组)3,1,3,4(),3,0,1,3(),7,3,1,2(),0,1,0,1(4321的一个最大无关组和秩解答：将向量按列排成一个矩阵，用初等行变换化为行最简形矩阵2440012200311043213370335031104321337010313110432124231375rrrrrr000061003110432100001220031104321234212rrr00006100301080010000610030101402121313223rrrrrr所以321,,是一个最大无关组，向量组的秩为3四.（10分）设有齐次线性方程组0)1(0)1(0)1(321321321xxxxxxxxx问当取何值时，上述方程组（1）有惟一的零解；（2）有无穷多个解，并求出这些解分析：齐次线性方程组有惟一零解的充分必要条件为系数矩阵的秩等于未知数的个数；有无穷多个解的充分必要条件为系数矩阵的秩小于未知数的个数.对于系数矩阵为方阵的齐次线性方程组，这个结论可以叙述为：齐次线性方程组有惟一零解的充分必要条件是系数行列式不等于零（也可以叙述为系数矩阵为满秩矩阵），有无穷多个解的充分必要条件是系数行列式等于零（也可以叙述为系数矩阵为降秩矩阵）.解答：方程组的系数行列式为111111111)1(1111111111111111112)2)(1(200002111)1(（1）当0)2)(1(2，即1且2时，方程组有惟一的零解；（2）当0)2)(1(2，即1或2时，方程组有无穷多个解.当1时，系数矩阵0001101210003301210001121212111121212122313312rrrrrrr000110101212rr对应方程组为003231xxxx，解得111321kxxx，其中k取任意数当2时，系数矩阵0000001111111111111312rrrr对应方程组为0321xxx，解得10101121321kkxxx，其中21,kk取任意数五.（12分）求一个正交变换，把下列二次型化成标准形323121232221321444),,(xxxxxxxxxxxxf解答：二次型的矩阵为122212221A2)1)(5(122212221AIr因此矩阵A的特征值为5,1321对于121000000111000000