材料力学1第五版-第二章习题答案..

§2-1轴向拉伸和压缩的概念1、工程实例此类受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压杆。受力特点：直杆受到一对大小相等，作用线与其轴线重合的外力F作用。变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。FFFF2、拉伸与压缩的特点§2-2内力·截面法·轴力及轴力图内力——由于物体受外力作用而引起的其内部各质点间相互作用的力的改变量。Ⅰ、内力根据可变形固体的连续性假设可知，物体内部相邻部分之间的作用力是一个连续分布的内力系，我们所说的内力是该内力系的合成（力或力偶）FFFFⅡ、截面法·轴力及轴力图求内力的一般方法——截面法（1）截：（3）代：（4）平：步骤：FFmm(d)FN(a)FFmm(c)mmFNx（2）取：(b)mmFx可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线均与杆件的轴线重合，因而称之为轴力，用记号FN表示。FFNFFmm(c)FN(a)FFmm(b)mmFNx引起伸长变形的轴力为正——拉力（背离截面）；引起压缩变形的轴力为负——压力（指向截面）。轴力的符号规定:FFNFFmm(c)FN(a)FFmm(b)mmFNxFFNFNmm(c)FN(a)FFmm(b)mmFxF若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系，称为轴力图。FFFN图FFFFN图F用截面法法求内力的过程中，在截面取分离体前，作用于物体上的外力（荷载）不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。注意：(a)FFFF(b)FN=Fmmnn(a)FCBAmmFA(b)FN=FnnBFA(c)nnmmFN=0(e)mmAFN=FnnB(f)AFCB(d)FA例2-1试作图示杆的轴力图。求支反力kN10RF解：ABCDE20kN40kN55kN25kN6003005004001800FR22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE331144注意假设轴力为拉力拉）(kN101NF横截面1-1：拉）(kN50N2F横截面2-2：FR22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE331144FRFN111AFRF1FN2AB22此时取截面3-3右边为分离体方便，仍假设轴力为拉力。拉）(kN204NF横截面3-3：压）kN(53NF同理FR22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE331144F3F4FN333DEF4FN444E由轴力图可看出kN502Nmax,NFF20105FN图(kN)FR22F4=20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNABCDE33114450FFFq=F/ll2llFR112233FFFqFFFFRF'=2qlFF=R解：1、求支反力补充例题1FF=N1FF=3Nx1N2FFlFxF1N2lFxF12NF0xF2FFFq11233FF=RxFF=RFqFFF=RFFFF=RFx10--21RN2lFxFFFNFFFF思考：此题中FNmax发生在何处？最危险截面又在何处？FFFq=F/ll2ll图示砖柱，高h=3.5m，横截面面积A=370×370mm2，砖砌体的容重γ=18KN/m3。柱顶受有轴向压力F=50KN，试做此砖柱的轴力图。y350Fnn补充例题2AyGFFNy0NyFAyFyAyFFNy46.2505058.6kNA=10mm2A=100mm210KN10KN100KN100KN哪个杆先破坏?NFFFF思考：此题中FNmax发生在何处？最危险截面又在何处？FFFq=F/ll2ll§2-3应力·拉（压）杆内的应力Ⅰ、应力的概念拉压杆的强度轴力横截面尺寸材料的强度即拉压杆的强度是跟轴力在横截面上的分布规律直接相关的。杆件截面上的分布内力的集度，称为应力。M点平均应力AFpm总应力AFAFpAddlim0(a)MAFM(b)p总应力p法向分量,引起长度改变正应力:切向分量，引起角度改变切应力:正应力：拉为正，压为负切应力：对截面内一点产生顺时针力矩的切应力为正，反之为负M(b)(a)MFA内力与应力间的关系AFpddAFddNAFddSAAFdNAAFdSM(b)(a)MFAFNFS应力量纲21TMLPa应力单位2N/m1Pa1Pa10MPa162N/mm1MPa1MPaM(b)(a)MFAPa10GPa19GPaⅡ、拉（压）杆横截面上的应力FAFAdN无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律已知静力学条件mmFFmmFFNmmFFN但荷载不仅在杆内引起应力，还要引起杆件的变形。可以从观察杆件的表面变形出发，来分析内力的分布规律。FFacbda'c'b'd'mmFFmmFFNmmFFN等直杆相邻两条横向线在杆受拉(压)后仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉（压）杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。观察现象：平面假设FFacbda'c'b'd'亦即横截面上各点处的正应力都相等。推论：1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截面上没有切应力。2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。FFacbda'c'b'd'等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式AFN即AAFAdNmmFFmmFFNmmFFN适用条件：⑴上述正应力计算公式对拉（压）杆的横截面形状没有限制；但对于拉伸（压缩）时平截面假设不成立的某些特定截面,原则上不宜用上式计算横截面上的正应力。⑵实验研究及数值计算表明，在载荷作用区附近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的应力情况复杂，上述公式不再正确。AFN圣维南原理作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一个与之静力等效的力系来代替。而两力系所产生的应力分布只在力系作用区域附近有显著的影响，在离开力系作用区域较远处，应力分布几乎相同。力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。圣维南原理}FFFF影响区影响区2F2F2F2F例2-2试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F=50kN。解：Ⅰ段柱横截面上的正应力MPa87.0)mm240()mm240(N1050311N1AF（压）kN501NF150kN50kNFCBAFF40003000370240Ⅱ段柱横截面上的正应力1.1MPa)mm370)(mm370(N1015032N22AF（压应力）kN1502NF最大工作应力为MPa1.12max150kN50kNFCBAFF40003000370240例2-3试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上的拉应力。已知：。MPa2mm,5mm,200pδd可认为径向截面上的拉应力沿壁厚均匀分布dbA解：bp2RNFF根据对称性可得，径截面上内力处处相等dyFNFNppFRπ0RsindFF40MPa2(5mm))MPa)(200mm2()d2(ddbpFpbddpb)sind2(π02NpbdFAFN2)2(1pdpbdbddyFNFNpFR图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm，BC杆为正方形截面杆，其边长a=60mm，P=10KN，试求AB杆和BC杆横截面上的正应力。FNABFNBCMPaAFABNABAB3.28MPaAFBCNBCBC8.4FFNAB030sinNBCNABFF030cosCdABFa030补充例题1Ⅲ、拉（压）杆斜截面上的应力FF由静力平衡得斜截面上的内力：FFkkFFkkFFpkk?p变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压）变形后仍相互平行。推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长变形相同。即斜截面上各点处总应力相等。FF0为拉(压)杆横截面上()的正应力。0AFpcoscos/AFAFcos0FFpkkFFkkAA总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力：20coscospsinp2sin20sincos0p20cos2sin20通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，成为该点处的应力状态。对于拉（压）杆，一点处的应力状态由其横截面上一点处正应力即可完全确定，这样的应力状态称为单向应力状态。p2/0max20cos2sin20讨论：0（1）450max45900（2）2/0min00（横截面）（纵截面）（纵截面）（横截面）900p结论：1、轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。2、轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线成450截面上。3、在平行于杆轴线的截面上σ、τ均为零。F045045045045切应力互等定理§2-4拉（压）杆的变形·胡克定律1、拉(压)杆的纵向变形绝对变形线应变--每单位长度的变形，无量纲lll-1ll相对变形长度量纲FFdll1d1当杆件因荷载或截面尺寸变化的原因而发生不均匀变形时，不能用总长度内的平均线应变代替各点处的纵向线应变。xyzCAOBxAB'xxxx截面处沿x方向的纵向平均线应变为xxx截面处沿x方向的纵向线应变为xxxxxxddlim0线应变以伸长时为正，缩短时为负。2、横向变形dd横向绝对变形ddd-1横向线应变FFdll1d1AFllEAFll3、荷载与变形量的关系——胡克定律当杆内应力不超过材料的某一极限值（“比例极限”）时引进比例常数EEAlFNFFdll1d1E—弹性模量，量纲与应力相同，为，2-1-TMLEAlFlN拉（压）杆的胡克定律EA—杆的拉伸（压缩）刚度。单位为Pa；FFdll1d1AFEllN1E称为单轴应力状态下的胡克定律EAlFlN即FFdll1d14、横向变形的计算单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，一点处的纵向线应变与横向线应变的绝对值之比为一常数：ν或ν-n-----横向变形因数或泊松比FFdll1d1低碳钢（Q235）：28.0~24.0νGPa210~200E例2-4一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面面积A1=400mm2，BC段的横截面面积A2=250mm2,材料的弹性模量E=210GPa。试求：AB、BC段的伸长量和杆的总伸长量。F=40kNCBAB'C'解：由静力平衡知，AB、BC两段的轴力均为FFNl1=300l2=200故11N1EAlFlmm143.022N2EAlFlmm152.0233mm400MPa10210mm300N1040233mm250MPa10210mm200N1040F=40kNCBAB'C'l1=300l2=200AC杆的总伸长21lllmm295.0152.0143.0F=40kNCBAB'C'例2-5图示杆系，荷载F=100kN,求结点A的位移A。已知两杆均为长度l=2m，直径d=25mm的圆杆，=30º，杆材(钢)的弹性模量E=210GPa。解：1、求两杆的轴力。cos22N1NFFF0xFFFcos21N2N1NFF0yF得xyFN2FN1FABC12AF2、由胡克定律得两杆的伸长：21llEAlFEAlF2N1Ncos2EAFlcosπd22EFl根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点A只有竖向位移。FABC123、计算节点位移此位置既应该符合两杆间的约束条件，又满足两杆的变形量要求。关键步骤——如何