《正、余弦定理在三角形中的应用》课件

第2课时正、余弦定理在三角形中的应用1．掌握三角形的面积公式．2．会用正、余弦定理计算三角形中的一些量.1．本节的重点是三角形中的几何计算．2．利用正、余弦定理及三角函数公式解决一些综合题.在△ABC中，若已知AB的长度和AB边上的高，可以计算三角形的面积，若已知AB、AC及角A，能计算△ABC的面积吗？三角形面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)(2)S＝12absinC＝12＝12(3)S＝12·r·(a＋b＋c)(r为内切圆半径)(4)S＝pp－ap－bp－c其中p＝12a＋b＋cacsinBbcsinA答案：B1．在△ABC中，a＝6，c＝4，B＝30°，则△ABC的面积是()A．12B．6C．123D．83解析：S＝12acsinB＝12×6×4×sin30°＝62．在△ABC中，c＝3，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为()A.32或3B.32或34C.3或34D.3解析：根据正弦定理：sinC＝csinBb＝3sin30°＝32.∵cb，∴CB＝30°，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴△ABC的面积S＝12bc＝32；答案：B当C＝120°时，A＝180°－(30°＋120°)＝30°，∴△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×1×3sin30°＝34.3．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，S△ABC＝64，则c＝________.答案：16解析：S△ABC＝12bcsinA∴c＝2S△ABCbsinA＝2×64316×sin60°＝164．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA＝tanB，a＝b(1＋cosA)，求证：A＝C.证明：由sinA＝tanB＝sinBcosB得sinAcosB＝sinB，①由a＝b(1＋cosA)及正弦定理，得sinA＝sinB(1＋cosA)，即sinA＝sinB＋sinBcosA，②由①②得sinA＝sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，即sinA＝sinC.又0Cπ，0Aπ，∴A＝C或A＝π－C(舍去)，∴A＝C.△ABC中，A、B、C的对边分别是a，b，c，且cosBcosC＝－b2a＋c.求：(1)角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．由题目可获取以下主要信息：①cosBcosC＝－b2a＋c.②求B及△ABC的面积．先由余弦定理求出B，再结合条件列方程求出ac，利用面积公式求出△ABC的面积．[解题过程](1)∵cosBcosC＝－b2a＋c，∴a2＋c2－b22aba2＋b2－c22ac＝－b2a＋c，整理得a2＋c2－b2＝－ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12，从而B＝120°.[题后感悟]求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及夹角正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用。(2)由余弦定理得a2＋c2＋ac＝13①又a＋c＝4，∴a2＋c2＋2ac＝16②由①②得ac＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝12×3×sin120°＝334.1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，B＝π3，cosA＝45，b＝3.(1)求sinC的值．(2)求△ABC的面积．解析：(1)∵A、B、C为△ABC的内角，且B＝π3，cosA＝45，∴C＝2π3－A，sinA＝35，∴sinC＝sin2π3－A＝32cosA＋12sinA＝3＋4310.(2)由(1)知sinA＝35，sinC＝3＋4310，又∵B＝π3，b＝3，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝65.∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.由题目可获取以下主要信息：①要证明等式的左边是三角形的边的关系式；②右边是三角形角的关系式．解答本题可通过正弦定理、余弦定理化边为角或化角为边，即可证明．△ABC中，角A、B、C对应边分别为a、b、c.求证：a2－b2c2＝sinA－BsinC.[解题过程]证法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－b2＝b2－a2－2bccosA＋2accosB，即a2－b2＝c(acosB－bcosA)，变形得a2－b2c2＝acosB－bcosAc＝accosB－bccosA，由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC得ac＝sinAsinC，bc＝sinBsinC，∴a2－b2c2＝sinAcosB－sinBcosAsinC＝sinA－BsinC.证法二：sinA－BsinC＝sinAcosB－cosAsinBsinC＝sinAsinCcosB－sinBsinCcosA，∵asinA＝bsinB＝csinC，∴sinAsinC＝ac，sinBsinC＝bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosA＝b2＋c2－a22bc，代入上式得sinA－BsinC＝ac·a2＋c2－b22ac－bc·b2＋c2－a22bc＝a2＋c2－b22c2－b2＋c2－a22c2＝2a2－b22c2＝a2－b2c2.∴等式成立．[题后感悟]三角形中的有关证明问题基本方法同三角恒等式的证明，但要注意灵活地选用正弦定理或余弦定理使混合的边、角关系统一为边的关系或角的关系，使之转化为三角恒等式的证明，或转化为关于a，b，c的代数恒等式的证明，并注意三角形中的有关结论的运用．2．在△ABC中，求证：c(acosB－bcosA)＝a2－b2.证明：根据余弦定理的推论cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac左边＝c(acosB－bcosA)＝ca×a2＋c2－b22ac－b×b2＋c2－a22bc＝ca2＋c2－b22c－b2＋c2－a22c＝12(2a2－2b2)＝右边∴c(acosB－bcosA)＝a2－b2在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC．若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．(1)由正弦定理把角转化为边，由余弦定理求角；(2)由正弦定理把边转化为角，求角．[规范作答]由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)·c.2分即a2＝b2＋c2＋bc①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA故cosA＝－12，4分∵A∈(0，π)，∴A＝120°.6分由①得，sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinB·sinC.又sinB＋sinC＝1∴sinB＝sinC＝128分∵0°B90°，0°C90°∴B＝C10分∴△ABC是等腰的钝角三角形.12分[题后感悟]此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此要掌握正、余弦定理，掌握三角函数的公式和性质．3．若本例中条件不变，问题改为“求sinB＋sinC的最大值”．解析：由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)c即a2＝b2＋c2＋bc由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA.∴cosA＝－12.∵A∈(0°，180°)∴A＝120°sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝32cosB＋12sinB＝sin(60°＋B)∵0°B60°∴60°60°＋B120°故当60°＋B＝90°即B＝30°时，sinB＋sinC取得最大值1.4．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin2A－π4的值．解析：(1)在△ABC中，根据正弦定理，ABsinC＝BCsinA，于是AB＝sinCsinABC＝2BC＝25.(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝255，于是sinA＝1－cos2A＝55.从而sin2A＝2sinAcosA＝45，cos2A＝cos2A－sin2A＝35，所以sin2A－π4＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝210.1．解三角形问题的几种类型在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下几种情况已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解[特别提醒]在用正弦定理求角、用余弦定理求边的时候常出现增解的情况，因此需根据三角形中边角的关系进行取舍．2．三角形形状的判断判断三角形的形状是解三角形问题中常见题型，其关键是实现边角互相转化，主要方法有两种：方法一：化角为边，利用正弦定理、余弦定理把所给条件中的角都转化为边，通过恒等变形，寻找边的关系，从而判断三角形的形状．方法二：化边为角，利用正弦定理、余弦定理把所给的条件中的边都化为角，通过三角变换，寻求角的值或角的关系．常见结论有：若cos(A＋B)0，则角C是钝角；若cos(A＋B)0，则角C是锐角；若cos(A＋B)＝0，则角C是直角．有时已知中有边角混杂的式子，可以利用正弦定理和余弦定理，把所给的条件进行边角转化，以达到化异为同的效果．◎在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．【错解】∵AB＝23，AC＝2，B＝30°，∴根据正弦定理，有sinC＝AB·sinBAC＝23×122＝32，∴C＝60°，∴A＝90°.根据三角形的面积公式，得S＝12AB·AC·sinA＝23.【错因】本题没有注意到ABAC，所以CB，从而C有两解．【正解】∵AB＝23，AC＝2，B＝30°，∴根据正弦定理，有sinC＝AB·sinBAC＝23×122＝32.又∵ABAC，∴CB，则C有两解．①当C为锐角时，C＝60°，A＝90°，根据三角形的面积公式，得S＝12AB·AC·sinA＝23.②当C为钝角时，C＝120°，A＝30°，根据三角形的面积公式，得S＝12AB·AC·sinA＝3.由①②知，△ABC的面积为23或3.练考题、验能力、轻巧夺冠