平行四边形及特殊的平行四边形测试题

平行四边形及特殊的平行四边形测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD︰DA=2︰3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A.6cmB.9cmC.3cmD.12cm2.一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，则等腰梯形的锐角为（）A.30°B.45°C.60°D.75°3.（2013·山东泰安中考）如图，在ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为（）A.23B.43C.4D.84.如图，在梯形中，∥，∠∠90°，分别是的中点，若cm，cm，那么（）A.4cmB.5cmC.6.5cmD.9cm5.直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离（）A.相等B.不相等C.可能相等也可能不相等D.无法比较6.在平面中，下列命题为真命题的是（）A.四边相等的四边形是正方形B.对角线相等的四边形是菱形C.四个角相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形7.从菱形的钝角顶点，向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（）A.150°B.135°C.120°D.100°8.如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC且交BC于点E，AD=6cm,则OE的长为（）A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm9.如图，四边形ABCD是矩形，F是AD上一点，E是CB延长线上一点，且四边形AECF是等腰梯形，下列结论中，不一定正确的是（）A.AE=FCB.AD=BCC.BE=AFD.∠E=∠CFD10.（2013·山东聊城中考）下列命题中的真命题是（）A.三个角相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形D.正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形二、填空题（每小题3分，共24分）11.已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积是.12.如图，EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，已知AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长是.13.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，AB边上的高DF为3，BC边上的高DE为6，则平行四边形ABCD的周长为.14.如图▣ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12,则△DOE的周长为.15.已知菱形一个内角为120°，且平分这个内角的一条对角线长为8cm，则这个菱形的周长为.16.如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L”型图案，则∠________，∠________.17.已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是.18.如图所示，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是.二、解答题（共66分）19.（8分）如图，在四边形中，，⊥，⊥，垂足为，，求证：四边形是平行四边形.20.（8分）如图，在△中，∠，⊥于，平分∠，交于，交于点，⊥于，求证：四边形是菱形.21.（8分）如图，在正方形，过作∥，∠30，交于点，求证：22.（8分）辨析纠错已知：如图，在△中，是∠的平分线，∥，∥.求证：四边形是菱形.对于这道题，小明是这样证明的：证明：∵平分∠，∴∠1＝∠2（角平分线的定义）.∵∥，∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）.∴∠1＝∠3（等量代换）.∴（等角对等边）.同理可证，∴四边形是菱形（菱形定义）.老师说小明的证明过程有错误，你能看出来吗？（1）请你帮小明指出他的错误是什么？（先在解答过程中标出来，再说明他错误的原因）（2）请你帮小明做出正确的解答.23．（8分）如图，在中，，点E为中点，求∠的度数.24.（8分）如图，在△中，∠0°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，F在DE上，且．⑴求证：四边形是平行四边形；⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形?并说明理由．25.（8分）（2013·山东聊城中考）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：AE=CE.26.（10分）（2013·山东临沂中考）如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.(1)求证:AF=DC;(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.第三章证明（三）检测题参考答案1.A解析：因为cm，所以cm.因为△的周长为13cm，所以cm.又因为，所以cm.2.B解析：如图，在梯形ABCD中，高则所以∠，故选B.3.B解析：∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE＝∠DAE.在ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠AFD＝∠DAE，∴AD=DF.∵点F是CD的中点，AB＝CD＝4，∴DF＝AD＝2.在Rt△ADG中，∵DG＝1，AD＝2，∴AG＝，∴AF＝2.∵AD∥BE，∴∠ADF＝∠FCE.又∵DF=CF,∠AFD=∠EFC,∴△ADF≌△ECF,∴EF=AF=2,∴AE=4.4.A解析：如图，作EG∥AB，EH∥DC，因为∠∠，所以∠.因为四边形和四边形都是平行四边形，所以.又因为cm，cm，所以cm，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得cm.5.A解析：如图，在直角梯形中，是的中点，设是的中点，连接，则E是梯形的中位线，所以∥，即⊥.又，所以是的垂直平分线，所以.6.C解析:四边相等的四边形不一定是正方形，也可能是菱形，故选项A错误；对角线相等的四边形不一定是菱形，也可能是矩形，等腰梯形，故选项B错误；四个角相等的四边形是矩形，故选项C正确；对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故选项D错误.7.C解析：如图，在菱形中⊥连接，因为，所以是的垂直平分线，所以，所以三角形是等边三角形，所以∠，从而∠.8.C解析:OE=AB=AD=×6=3(cm).9.C解析：由等腰梯形的条件可知A正确；由四边形ABCD是矩形，可知B正确；又∠E=∠FCB，由AD//BC得∠CFD=∠FCB，故∠E=∠CFD，D正确；只有C不一定正确.10.C解析：判断一个命题是否为真命题，需要分析题设是否能推出结论，进而利用排除法得出答案.不是真命题的可以利用反例排除：三个角相等的四边形不一定是矩形，例如三个角分别为80°，第四个角为120°的四边形不是矩形,故选项A错误；如图，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项B错误；正五边形只是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D错误；对于选项C，由三角形的中位线性质和矩形的性质以及菱形的判定，可得本选项正确.11.解析：如图，菱形ABCD的周长为40cm，cm，则cm，cm，又OA⊥OB，所以cm，AC=12cm,所以菱形的面积为=96cm2.12.12解析：由平行四边形可得，∠∠OCB，又∠∠，所以△≌△，所以，，所以四边形的周长为.13.36解析：由平行四边形的面积公式，得，即，解得，所以平行四边形的周长为.14.15解析：本题综合考查了平行四边形的性质以及三角形的中位线定理.∵点E,O分别是CD,BD的中点，∴OE是△DBC的一条中位线，∴OE=BC，∴△DOE的周长＝OE+DE+OD＝BC+CD+BD=(BC+CD)+6=ABCD的周长+6＝9+6=15.15.32cm解析:由菱形有一个内角为120°，可知菱形有一个内角是60°，由题意可知菱形的边长为8cm，从而周长为（cm）.16.90°，45°解析:通过证明△FGA≌△ABC可得.17.6解析:较短的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形，所以较短的对角线长为6.18.15°或165°解析:如图(1)所示,∵AB=AD,BE=DF,AE=AF,∴△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF=(∠BAD-∠EAF)=(90°-60°)=15°.如图(2)所示，易证△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF.∴∠BAF=∠DAE=(360°-∠BAD-∠EAF)=(360°-90°-60°)=105°,∴∠BAE=∠BAF+∠EAF=105°+60°=165°.19.证明：因为DE⊥AC，BF⊥AC，所以∠∠.因为，所以.又因为，所以△ADE≌△CBF，所以∠∠，所以AD∥BC.又因为，所以四边形ABCD是平行四边形.20.证明：∵平分∠，∴.∵，∴∥.∴∠∠.又∠∠，∴∠∠，得，∴.又∥，得四边形是平行四边形.又，∴四边形是菱形.21.证明：连接交于点，作于，∵∠，∴∵⊥，⊥，∴G∥又∥，∴四边形D是矩形，∴.又，∴，∴∠.又∠∠∠，∴∠∠E，∴22.解：⑴小明错用了菱形的定义，标记略.⑵改正：∵∥，∥，∴四边形是平行四边形.∵平分∠，∴∠1＝∠2.又∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3.∴，∴平行四边形是菱形.23.解法1：∵为中点，∴21BC.∵，∴∴∠∠，∠∠.∵四边形是平行四边形，∴.又，∴，∴∴.解法2：如图，设F为AD的中点，连接EF.因为，所以又因为∥，所以四边形是菱形.所以∠∠同理，∠∠所以∠∠24.（1）证明：由题意知，∴∥，∴.∵，∴.又∵，∴△≌△，∴，∴四边形ACEF是平行四边形．（2）解：当∠时，四边形是菱形．理由如下：∵AB21.∵垂直平分，∴又∵，∴四边形是菱形．25.分析：因为AE与CE不在同一个三角形内，所以考虑添加辅助线，构造全等三角形，通过证明两个三角形全等进而得到AE=CE.证明：过点B作BF⊥CE于点F.90.CED90,ABCD,90.CEADCED∴∠1+∠2=90°,∠D+∠2=90°,∴∠1=∠D.又BC=CD,∴Rt△BCF≌Rt△CDE(AAS).∴BF=CE.∵∠A=∠AEF=∠EFB=90°,∴四边形ABFE是矩形.∴BF=AE,∴AE=CE.26.分析：（1）先证出△AFE≌△DBE，可得AF=DB，又DB=DC，从而AF=DC；（2）先证明四边形ADCF是平行四边形，再由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AD=CD，从而得出四边形ADCF是菱形.（1）证明：∵E是AD的中点,∴AE=ED.∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE.∴△AFE≌△DBE,∴AF=DB.∵AD是BC边上的中线,∴DB=DC,∴AF=DC.(2)解：四边形ADCF是菱形.理由:由(1)知,AF=DC,∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.又∵AB⊥AC,∴△ABC是直角三角形.∵AD是BC边上的中线,∴AD=BC=DC.∴平行四边形ADCF是菱形.点拨：（1）三角形全等是证明线段相等最常用的方法；（2）判定一个四边形是菱形最常用的方法是先证它是平行四边形，再证有一组邻边相等或对角线互相垂直，或直接证四边形的四条边相等.