信号与系统王明泉第三章习题解答

第3章傅里叶变换与连续系统的频域分析3.1学习要求（1）了解函数正交条件及完备正交函数集的概念；（2）能用傅里叶级数的定义、性质及周期信号的傅里叶变换，求解信号的频谱、频谱宽度，画频谱图，深刻理解周期信号频谱的特点；（3）能用傅里叶变换的定义、性质，求解非信号的频谱、频谱宽度，画频谱图，会对信号求正反傅里叶变换；（4）深刻理解周期信号的傅里叶变换及周期信号与非周期信号傅里叶变换的关系；（5）深刻理解频域分析法的内涵，并掌握其求解系统的零状态响应的方法；（6）深刻理解系统的无失真传输的意义和条件；（7）掌握系统的物理可实现性。3.2本章重点（1）傅里叶级数的定义、周期信号的频谱及性质；（2）傅里叶变换的定义、性质；（3）周期信号的傅里叶变换；（4）频域分析法分析系统；（5）系统的无失真传输；（6）理想低通滤波器；（7）系统的物理可实现性；3.3本章的内容摘要3.3.1信号的正交分解两个矢量1V和2V正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：o1212cos900VVVV如果1V和2V为相互正交的单位矢量，则1V和2V就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量3V能满足130VV。在二维矢量空间中的任一矢量F可以精确地用两个正交矢量1V和2V的线性组合来表示，有1122CCFVV式中，系数1C、2C分别为1111111111coscosCFFVFVVVVVV2222222222coscosCFFVFVVVVVV仿照矢量正交的概念，可以定义函数正交的条件。若有一个定义在区间12,tt的实函数集()(1,2,,)igtin，在该集合中所有的函数满足2121,,2,1,0)()(,,2,1)(2ttjittiinjjidttgtgnikdttg则称这个函数集为区间12,tt上的正交函数集。式中ik为常数，当1ik时，称此函数集为归一化正交函数集。若实函数集(),1,2,,igtin是区间12,tt内的正交函数集，且除()igt之外(),1,2,,igtin中不存在()xt满足下式2120()ttxtdt且21()()0titxtgtdt则称函数集(),1,2,,igtin为完备正交函数集。一个完备的正交函数集通常包括无穷多个函数。若在区间12,tt上找到了一个完备正交函数集(),1,2,,igtin，那么，在此区间的信号()xt可以精确地用它们的线性组合来表示11221()()()()()nniiixtCgtCgtCgtCgt各分量的标量系数为21212()()d()dtitititxtgttCgtt系数iC只与()xt和()igt有关，而且可以互相独立求取。3.3.2周期信号的傅里叶级数任一个满足狄利克雷条件的周期信号可展开傅里叶级数。（1）三角形式的傅里叶级数010201020()coscos2sinsin2xtaatatbtbt0001(cossin)nnnaantbnt式中，n为正整数；02T称为基波角频率。直流分量：TttdttfTa00)(10余弦分量幅度：TttntdtntxTa000cos)(2正弦分量幅度：TttntdtntxTb000sin)(2若将同频率项加以合并，又可以写成三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：100)cos()(nnntncctx这两种三角形式系数的关系为0022cossinarctannnnnnnnnnnnnaccabacbcba在信号与系统中，定义：0c为直流信号，T20为基数，)cos(101tc为基波，)3,2(),cos(0ntncnn为n次谐波。各参数na、nb、nc以及n都是n（谐波序号）的函数，也可以说是0n（谐波频率）的函数。如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴绘出nc和n等的变化关系，便可直观地看出各频率分量地相对大小和相位情况，这样的图分别称为信号的幅度频谱图和相位频谱图。周期信号的频谱只出现在0，0，02，…等离散的频率点上，这样的频谱叫做离散谱。（2）指数形式的傅里叶级数tjnnntjnneXenXtx00)()(0复数频谱)(0nXdtetxTtjnTtt000)(1根据欧拉公式可以找到指数形式傅里叶级数与三角形式傅里叶级数的关系（3）波形对称与谐波特性的关系对于偶函数，满足)()(txtx，200cos)(4TntdtntfTa，0nb，即偶函数的傅里叶级数中不含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。复振幅nX是实数，其初相位n为零或。对于奇函数，满足)()(txtx，200sin)(4TntdtntfTb，00naa，即偶函数的傅里叶级数中不含余弦项和直流项，只可能包含余弦项。复振幅nX是虚数，其初相位n为2或2。对于奇谐函数，满足)()2(tfTtf，当n为偶数时，00a，0,nnba；当n为奇数时，tdtntxTaTn02/0cos)(4，200sin)(4TntdtntfTb，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即TttNNNttTtE00d)(1)(22。式中，NNStxt)(，NnnnNtnbtnaaS1000sincos。研究表明，N越大，tN越小，当N时，0tN。当选取傅里叶有限级数的项数越多，在所合成的波形NS种出现的峰值起伏越靠近)(tx的不连续点。但是对任何有限的N值，部分和所呈现的峰值的最大值趋于一个常数，它大nnnnnnnnnnnnnnjnnnnjnnnjnnbXjXXjaXXXabXcXecjbaXecjbaeXXcaXnnnIm2)(Re2arctan2121)(2121)(21000约等于总跳变值的9％，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象通常称为吉布斯（Gibbs）现象。周期信号展开傅里叶级数，必须满足狄利克雷（Dirichlet）条件：条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。条件3:在一周期内，信号绝对可积，即Tttttx00d)(（5）周期信号频谱的特点第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率0的整数倍频率上。第三：收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随0n的变化有起伏变化，但总的趋势是随着0n的增大而减小，当0n时，0||nX。3.3.3非周期信号的傅里叶变换（1）傅里叶变换定义傅里叶变换：dtetxjXtj)()(傅里叶逆变换：dejXtxtj)(21)()(jX一般为复函数，可写成)()()(jejXX，其中，)(jX为幅度频谱，)(为相位频谱。（2）典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期函数和常用函数的傅里叶变换如表3.1所示。表31常用信号的傅里叶变换序号名称时间表示式()xt傅里叶变换(j)X矩形脉冲信号()()()22GtEututSa2E单边指数信号()ateut，0a1aj双边指数信号,0()ateat222aa三角脉冲信号21202ttt2Sa22抽样脉冲信号0Sa()t0000钟形脉冲信号2te22e余弦脉冲信号cos202ttt2cos221升余弦脉冲信号121cos2202ttt2Sa2212符号函数10sgn()10ttt2j单位冲激函数()t1直流信号12()单位阶跃函数()ut1()j冲激偶信号()tj单位斜变信号()tut21()j3.3.4连续时间信号傅里叶变换的性质如表3.2所示。表3.2傅里叶变换性质序号性质名称时域频域1线性性质()()axtbyt()()aXjbYj2尺度变换特性()xat，0a1||Xjaa3奇偶虚实性()xt为实函数()()XjXj()()()()RjRj()()IjIj*()()XjXj()()xtxt()()xtxt()()XjRj，()0Ij()()XjjIj，()0Rj()xt为虚函数()()XjXj()()()()RjRj()()IjIj*()()XjXj4时移特性0()xtt0()jtXje5频移特性0()jtxte0[()]Xj6对偶性()Xjt2()x7时域微分特性()xt()jXj()()nxt()()njXj8时域积分特性()dtxττ1()(0)()XjXj9频域微分特性()jtxt()dXjd()ntxt()nnndXjjd10频域积分特性()(0)()xtxtjt()Xjd11时域卷积特性12xtxt12XjXj12频域卷积特性12()()xtxt121()()2XjXj13帕塞瓦尔定理221|()||()|2xtdtXjd3.3.5周期信号的傅里叶变换周期信号()xt的频谱由无限多个冲激函数组成，各冲激函数位于周期信号()xt的各次谐波0n处，且冲激强度为|()|Xj的2倍，即nnnnXXjX)(2)(2)(00其中，nX还可以用下式求得：0)(1nnjXTX上式表明：周期信号的傅里叶级数的系数nX等于单脉冲信号的傅里叶变换0()Xj在0n频率点的值乘以1T。所以可利用单脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号的傅里叶级数的系数。3.3.6调制与解调调制的意义：第一，使调制后信号的波长与发射天线的长度匹配，从而便于信号的发射；第二，把不同的信号搬移到不同的频段，使其各自占据不同的频率从范围。幅度调制的过程：设载波信号为0cost，调制信号为()gt，二者的傅里叶变换分别为000cos[()()]t和()G。已调信号为0()()cosftgtt，其频谱为)()(21)(00GGF这样，信号()gt的频谱被搬移到载频0附近。解调及解调的过程：由已调信号()ft恢复原始信号()gt的过程称为解调。选用与载波信号相同的本地载波信号0cost与接收到的已调信号()ft相乘，有ttftg020cos)()(，其频谱为00011()()(2)(2)24GGGG利用一个低通滤波器可以取出)(G。3.3.7线性时不变系统的频域分析法频域分析是在频域中求解系统的响应，它反映输入信号的频谱(j)X通过系统后，输出信号频谱(j)Y随频率变化的情况。（1）