4.2.2提取公因式法

4.2.2提公因式法提公因式为多项式的因式分解学习目标12能用整体思想确定各项的多项式公因式.会用提公因式法把多项式分解因式.因式分解提公因式法（单项式）确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数分两步：第一步找公因式；第二步提公因式注意1.分解因式是一种恒等变形；2.公因式：要提尽；3.不要漏项；4.提负号，要注意变号回顾思考把下列各式因式分解（1）8mn²+2mn（2）a²b-5ab+9b（3）-3ma³+6ma²-12ma（4）-2x³+4x²-8x回顾思考思考1：提公因式时，公因式可以是多项式吗？思考2：公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？探究新知【归纳】①公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式。②整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。)()(yxbyxa)1()2()(3)(2cbcba试试对下式因式分解将各项相同的多项式看作一个整体，提取多项式公因式。练一练：1.x(a+b)+y(a+b)2.3a(x－y)－(x－y)3.6(p+q)2－12(q+p)=(a+b)(x+y)=(x－y)(3a－1)=6(p+q)(p+q-2)4.a(m-2)+b(2-m)=(m-2)(a-b)()()axybxy(1)()()axybyx解：()xy()yx()()xyab()bxy把下列各式因式分解：(1)()();axybyx32(2)6()12();mnnm32(2)6()12()mnnm26()[()2]mnmn326()12()mnmn2)(12nm)2()(62nmnm例题讲解思考：两个只有符合不同的多项式是否有关系？互为相反数两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:(1)当相同字母前的符号相同时,则两个多项式相等.如:a-b和-b+a即a-b=-b+a(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.如:a-b和b-a即a-b=-(a-b)归纳总结由此可知规律：(1)a-b与-a+b互为相反数.(a-b)n=(b-a)n(n是偶数）(a-b)n=-(b-a)n(n是奇数）(2)a+b与b+a互为相同数,(a+b)n=(b+a)n(n是整数）a+b与-a-b互为相反数.(-a-b)n=(a+b)n(n是偶数）(-a-b)n=-(a+b)n(n是奇数）提公因式为多项式的因式分解中提公因式技巧：①先分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系②当相等时，只要在第二个式子前添上“+”③当互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“-”，如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”.练一练：在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立：(1)(a-b)=___(b-a);(2)(a-b)2=___(b-a)2;(3)(a-b)3=___(b-a)3;(4)(a-b)4=___(b-a)4;(5)(a+b)=___(b+a);(6)(a+b)2=___(b+a)2.+--+++(7)(a+b)3=__(-b-a)3;-(8)(a+b)4=__(-a-b)4.+请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.(1)2-a=(a-2)(2)y-x=(x-y)(3)b+a=(a+b)-(6)-m-n=(m+n)(5)–s2+t2=(s2-t2)(4)(b-a)2=(a-b)2-++--练一练：某大学有三块草坪，第一块草坪面积为（a+b）²m²，第二块草坪面积为a（a+b）m²，第三块草坪面积为（a+b）bm²，求这三块草坪的总面积.解：由题意得（a+b）²+a（a+b）+（a+b）b=（a+b）（a+b+a+b）=（a+b）（2a+2b）=2（a+b）²（m²）因此，三块草坪的总面积为2（a+b）²m²强化训练强化训练1.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）²=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）²[1+x]=（1+x）³.（1）上述分解因式的方法是，共应用了次；（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）2018，则需要应用上述方法次，分解因式后的结果是；（3）请用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）n（n为正整数），必须有简要的过程.提取公因式法22018（1+x）2019强化训练1.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）²=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）²[1+x]=（1+x）³.（3）请用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）n（n为正整数），必须有简要的过程.解：原式=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）（n﹣1）]=（1+x）2[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）（n﹣2）]=（1+x）n（1+x）=（1+x）n+1.强化训练2.先分解因式，再求值：（2x+1）²-（2x+1）（-1+2x），其中x=解：（2x+1）²-（2x+1）（-1+2x）=（2x+1）（2x+1+1-2x）=2（2x+1）当x=时原式=2×[2×（）+1]=01212121．下列多项式中可以用提公因式法因式分解的有()①11a²b－7b²；②5a²(m－n)－10b²(n－m)；③x³－x＋1；④(a＋b)²－4(a－b)².A．1个B．2个C．3个D．4个2.若a,b,c为△ABC的三边长,且(a-b)b+a(b-a)=a(c-a)+b(a-c),则△ABC是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形随堂检测BB3.填空：(a－b)²(x－y)－(b－a)(y－x)²＝(a－b)(x－y)·．随堂检测(a－b＋x－y)4.已知：（19x-31）（13x-17）-（17-13x）（11x-23）可分解成（ax+b）(30x+c),其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值.解：（19x-31）（13x-17）-（17-13x）（11x-23）=（19x-31）（13x-17）+（13x-17）（11x-23）=（13x-17）（30x-54）∴a=13，b=-17，c=-54∴a+b+c=13-17-54=-58随堂检测提公因式为多项式的因式分解①公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式。②整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。课堂小结提公因式为多项式的因式分解中提公因式技巧：①先分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系②当相等时，只要在第二个式子前添上“+”③当互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“-”，如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”.(1)a-b与-a+b互为相反数.(a-b)n=(b-a)n(n是偶数）(a-b)n=-(b-a)n(n是奇数）(a+b)n=(b+a)n(n是整数）a+b与-a-b互为相反数.(-a-b)n=(a+b)n(n是偶数）(-a-b)n=-(a+b)n(n是奇数）课堂小结(2)a+b与b+a互为相同数,1．若(x＋y)3－xy(x＋y)＝(x＋y)·A，则A为()A．x2＋y2B．x2－xy＋y2C．x2－3xy＋y2D．x2＋xy＋y22.(x+y-z)(x-y+z)和(y+z-x)(z-x-y)的公因式是()A.x+y-zB.x-y+zC.y+z-xD.不存在3．已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)·(x－13)可因式分解为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b＝．课后作业DA-314.已知a+b=-4,ab=2,求多项式4ab(a+b)-4a-4b的值.解:原式=4(a+b)(ab-1).当a+b=-4,ab=2时,原式=-16.课后作业5.书本P98随堂练习再见