系统的稳定性分析

1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析0引言：1、稳定性是控制系统的首要问题。2、经典理论判稳方法及局限性。A、直接判定：单入单出系统中，基于特征方程的根是否都分布在复平面虚轴的左半部分，采用劳斯－古尔维茨代数判据和奈魁斯特频率判据。局限性是仅适用于线性定常，不适用于非线性和时变系统。B、间接判定：方程求解－对非线性和时变通常很难。1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析1线性系统稳定性分析的理论框架第一方法第二方法稳定性分析1892年俄国数学家李雅普诺夫SISO的代数分析方法解析方法Routh判据Houwitz判据根据SISO闭环特征方程的系数判定系统的稳定性根据状态方程A阵判定系统的稳定性1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析23、现代控制理论判稳方法：[俄]李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于各种系统。李雅普诺夫是俄国数学家、力学家。23岁大学毕业后留校工作，师从切比雪夫。35岁获博士学位并成为教授。43岁当选为圣彼得堡科学院通讯院士，而后分别当选为意大利国立林琴科学院，巴黎科学院外籍院士。李雅普诺夫是切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉及到多个领域，尤以概率论、微分方程和数学物理最有名。在数学中以他的姓氏命名的有：李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机算子等等。1857-19181李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析33、现代控制理论判稳方法：4、本章内容：李氏第二法及其应用。李氏第二法：直接判稳。思路：构造一个李氏函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。－－对任何复杂系统都适用。李氏第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质判稳－－间接法1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析44.1基本定义0021)(),,,,(),()(),(,0),,(xtxtxxxfxntxfntxtxfxuutxfxni初始状态维向量也是维向量，为则输入无关。种动态属性，与外部稳定性是系统本身的一设一、系统：000)(,),,()(xtxAxxtxttx如线性定常：解：几个稳定性概念1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析5(,)0efxt如果对于所有t总存在着ex则称为系统的平衡状态。定义平衡状态：),(txfx对于动态系统1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析6平衡态平衡态平衡态从定义可知,平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态)。由于导数表示的状态的运动变化方向,因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态,如图所示。平衡状态的个数？1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析7如果A非奇异，则原点是系统唯一的平衡状态如果A奇异阵，则有无穷多个平衡点(1)线性定常系统)()(tAxtx(2)非线性系统0),(txfxe)10(),10(),00(平衡点不只一个，可能有多个例系统中，有几个平衡点？3221211xxxxxxex皆为系统的平衡点0)(tAxe若xe为系统的平衡点，则1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析8三、范数：－衡量（度量）状态空间距离的大小向量x的长度称为向量x的范数：22221nxxxx0)()(2211，作限定在某一范围时，记与的距离为：与向量eeenneeexxxxxxxxxxxx）一个球，记作为半径的为球心，以表示以维状态空间中，几何意义：在(Sxne1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析9李亚普诺夫意义下的稳定在f作用下，x偏离xe有三种有界xxe无界系统稳定的分类：1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析101李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析11李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要就是李雅普诺夫稳定的，而经典控制理论则认为不稳定。上述稳定性定义只强调了系统在稳定平衡态附近的解总是在该平衡态附近的某个有限的球域内,并未强调系统的最终状态稳定于何处。1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析121李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析13–稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。–从工程意义来说,渐近稳定性比经典控制理论中的稳定性更为重要。由于渐近稳定性是个平衡态附近的局部性概念,只确定平衡态渐近稳定性,并不意味着整个系统能稳定地运行。对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明：1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析14－非线性系统，多个xe－线性只要渐近稳定（只有一个xe)一定是整个状态空间的渐近稳定。xe是渐近稳定，且其渐近稳定范围是整个状态空间。3、大范围渐近稳定如果平衡状态xe是稳定的，而且从所有初始状态出发的轨迹线都具有渐近稳定性，则称这种平衡状态xe大范围渐近稳定。1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析151李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析4.2李雅普诺夫第一法4.2.1线性系统的稳定判据线性定常系统（1）平衡状态渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性。如果系统对于有界输入所引起的输出是有界的，则称系统为输出稳定。线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数：1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析17试建立如图所示的小车-倒立摆系统的状态空间模型。假设小车和摆仅在一个平面内运动，其不考虑磨擦、摆杆的质量和空气阻力。解：建立平衡方程Myuθmlmg）（1sincos)(2umlmlymM)2(sincossincoscos22mgmlmlym的极点全部位于s的左半平面。应用：倒立摆1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析184321432143210001/10/100/)(0010000/000010xxxxyuMlMxxxxMlgMmMmgxxxx4321432143210001101001100100001000010xxxxyuxxxxxxxx设M=1，m=0.1，l=11李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析19a=[0100;00-10;0001;00110]a=010000-10000100110eig(a)ans=003.3166-3.3166系统矩阵存在正极点，系统不稳定1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析4.2.2非线性系统的稳定性设系统的状态方程为：为其平衡状态；为与同维的矢量函数，且对工具有连续的偏导数。为讨论系统在处的稳定性，可将非线性矢量函数在邻域内展成泰勒级数，得：1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析式中，为级数展开式中的高阶导数项。而称为雅可比(Jacohian)矩阵。若令，可得系统的线性化方程：1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析在一次近似的基础上，李雅普诺夫给出下述结论：1)如果线性化后系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统式在平衡状态是渐近稳定的，而且系统的稳定性与无关。2)如果A的特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状态是不稳定的。3)如果A的特征值，至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，那么原非线性系统的平衡状态的稳定性将取决于高阶导数项，而不能由A的特征值符号来确定。1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析23能量函数平衡点平衡点平衡点小干扰具有一定势能势能、动能和热能相互转化趋向平衡点能量为零1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析24能量函数1、如图所示的电路，L和C为两个储能元件，电路平衡后，令u(t)=0。)()()()()(tuutRidttdiLtidttduCcc解：由电路性质得1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析25)(010112121tuLxxCLLRxxcuxtix21),(设0)0()0(21xx)()()()()(tuutRidttdiLtidttduCcc初始状态1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析26)(21222121CxLx1122xLxxCxdtdww电感储存的能量电容储存的能量电路中的总能量能量随着时间的推移的变化率222221)(21CxtCuwc212121)(21LxtLiw2121112)1()1(RxxLxLRLxxCCx考察电路存储的能量1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析2721Rxw00ex讨论：如果R=0,,i,uc相互振荡，总量不变。如果R≠0，,能量逐渐减小,最终趋向于0。0w0w最终结果基本思想：从能量的观点，如果一个系统是渐近稳定的，其系统中储存的能量趋向于零关键问题：如果找到一个完全表示系统能量的函数V(x)？表明系统趋向于平衡点，渐近稳定00iuc0w1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析28虚构能量函数V(x)——李氏函数既可以描述物理系统，又可描述社会系统，满足3个条件：dtxdVxV)()(1、V(x)为任一标量函数，x为系统的状态变量，是t的函数2、V(x)是正数（正定的）——反映能量的大小3、连续一阶偏导，反映能量变化速度的大小，负值为能量减小李氏直接法：利用的符号性质来直接判断系统在平衡点是否稳定。)()(xVxV、1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析29（一）标量函数V(x)的符号、性质1、V(x)为正定是指：对所有在域Ω中非零的x,有V(x)0，且在x=0处有V(0)=0。2、V(x)为半正定是指：对所有在域Ω中非零的x,有V(x)≥0，且在x=0处有V(0)=0。问题：如何判断的符号？)()(xVxV、2221)(xxxV222121433)(xxxxxV1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析30TTxxxxxxxxVxxxxxxV)(,)()(2),(,)(132123221212221，，＋＝、、0,)0,,(Tx例：判断下列函数的正定性：解：1、V(x)是正定的，只有x=0时，才有V(x)=02、在x=0之外还存在向量x，使V(x)=0，如因此V(x)为半正定。1李氏意义下的稳定234厦门大学机电系第四章系统的稳定性分析31)3()(2232221nxxxxxV0)0(0)()()()(4VxVxVxVxV，且半负定）是半