等比数列前N项和的性质

掌握等比数列{an}前n项和公式的一些基本性质．1．数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成__________．等比数列练习1：在等比数列{an}中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则S6＝_______.140练习2：在正项等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4的值为()AA．28B．32C．35D．492．在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和，则S偶S奇＝______.q练习3：已知等比数列{an}中，公比q＝3，a1＋a3＋a5＋a7＝4，则a2＋a4＋a6＋a8＝_____，a3＋a5＋a7＋a9＝_____.练习4：在公比为整数的等比数列{an}中，已知a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么a5＋a6＋a7＋a8=()AB．493C．495D．498A．48012361．等比数列前n项和公式Sn＝a11－qn1－qq≠1，是否可以写成Sn＝A(qn－1)(Aq≠0且q≠1)的形式？若可以，A等于什么？答案：可以，A＝－a11－q.2．等比数列前n项和公式Sn＝a1－anq1－qq≠1，是否可以写成Sn＝Aan＋B(AB≠0且A≠1)的形式？答案：可以，A＝－q1－q，B＝a11－q.题型1等比数列前n项和性质的应用例1：已知等比数列前n项和为10，前2n项和为30.求前3n项的和．自主解答：解法一：设数列为{an}，依题意，可得Sn＝10，S2n＝30.又∵在等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，(30－10)2＝10·(S3n－30)，即S3n＝70.解法二：∵S2n≠2Sn，∴q≠1.由已知，得a11－qn1－q＝10，①a11－q2n1－q＝30.②由②÷①，得1＋qn＝3，即qn＝2.③将③代入①，得a11－q＝－10.∴S3n＝a11－q3n1－q＝－10×(1－23)＝70.与Sn有关的性质主要是Sn，S2n－Sn，S3n－S2n的关系．在与Sn有关的运算中，经常用到两种技巧，①两式相除法；②整体代入法，但都不要忽略对q的讨论．【变式与拓展】1．在等比数列{an}中，a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，求S15S10的值．解：∵S10S5＝3132，∴设S10＝31x，S5＝32x，且x≠0.则S10－S5＝31x－32x＝－x.又(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，∴S15＝S10－S52S5＋S10＝－x232x＋31x＝99332x.∴S15S10＝99332x31x＝993992.2．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝18，a2＋a3＋a4＝－9，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则Sn＝__________________.161－－12n题型2等比数列前n项和的综合运算例2：在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，且前n项和Sn＝126，求n及公比q.自主解答：∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，∴a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根，解方程得x1＝2，x2＝64，∴a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1.若a1＝2，an＝64，由a1－anq1－q＝126，得2－64q＝126－126q，∴q＝2.由an＝a1qn－1，得2n－1＝32，∴n＝6.若a1＝64，an＝2，同理可求得q＝12，n＝6.综上所述，n的值为6，公比q＝2或12.解本题的关键是利用a1·an＝a2·an－1，进而求出a1，an，要注意a1，an有两组解．项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为—，则S5＝(【变式与拓展】3．(2010年广东)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n54)A．35B．33C．31D．29C解析：设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知：a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2.由a4与2a7的等差中项为54知：a4＋2a7＝2×54，∴a7＝14.∴q3＝a7a4＝18，即a1＝16，q＝12.∴S5＝31.B4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()A.152B.314C.334D.172解析：由a2a4＝1，可得a21q4＝1，因此a1＝1q2.又因为S3＝a1(1＋q＋q2)＝7，联立两式有1q＋31q－2＝0，所以q＝12，所以S5＝4×1－1251－12＝314.题型3等比数列前n项和的实际应用例3：小君有人民币若干，拟作股票投资或长期储蓄，若存入银行年利率为6%，若购某种股票年红利为24%，不考虑物价变化因素，且银行年利率及该种股票年红利不变，股份公司不再发行新股票，但每年的利息和红利可存入银行．(1)求小君购股票或储蓄x年后所拥有人民币总额y与x的函数关系式；(2)问：经过几年，购买股票与储蓄所拥有的人民币相等(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg1.06＝0.0253)?自主解答：(1)设小君有人民币a元，若长期储蓄，则x年后人民币总额为y＝a(1＋0.06)x，即y＝1.06x·a.若购买股票，则x年后利息和红利总额为y＝[0.24＋0.24(1＋0.06)＋0.24(1＋0.06)2＋…＋0.24(1＋0.06)x－1]a，即y＝4(1.06x－1)a.即大约经过5年，股票与储蓄拥有的人民币相等．(2)由1.06x·a＝4(1.06x－1)a，得1.06x＝43，两边取以10为底的对数，得x＝lg4－lg3lg1.06＝0.6020－0.47710.0253≈4.9368.此题是复利问题，问题的关键是每满一年将前面的本息和作为整体自动转存．【变式与拓展】5．一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基价a元/m2，再据楼层的不同上下浮动，一层价格为(a－d)元/m2，二层价格为a元/m2，三层价格为(a＋d)元/m2，第i层(i≥4)价格为323iad元/m2.其中a0，d0，则该商品房的各层房价的平均值为()A．a元/m2B．a＋11017213d元/m2C．a＋17213d元/m2D．a＋11018213d元/m2解析：a4＋a5＋…＋a20＝17a＋d1722133213＝17a＋2d·17213，∴a1＋a2＋…＋a20＝20a＋2d17213.∴平均楼价为a＋110d17213.答案：B例4：已知数列{an}是等比数列，试判断该数列从第一项起依次k项的和组成的数列{bn}是否仍为等比数列．试解：设bn＝a(n－1)k＋1＋a(n－1)k＋2＋…＋ank，…，且数列{an}的公比为q.则当q＝1时，b1＝b2＝…＝bn＝ka1.∴{bn}是公比为1的等比数列．当q≠±1时，bn＝an－1k＋11－qk1－q，bn＋1bn＝qk，∴{bn}是公比为qk的等比数列．当q＝－1时，若k为偶数，则bn＝0，此时{bn}不能为等比数列；若k为奇数，则{bn}是公比为－1的等比数列．易错点评：易忽略两个问题：①前n项和公式成立的条件；②bn＋1bn中bn不能为0.等比数列的定义、通项公式、求和公式是等比数列的基本知识点，适当了解等比数列的一些基本性质，会给解题带来一定的帮助．同学们再见