最新2019高考数学跟踪检测：解三角形(大题练)

解三角形（大题练）A卷——大题保分练1．(2018·惠州模拟)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝2，c＝23，求△ABC的面积．解：(1)∵2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0，∴由正弦定理可得2cosC(sinAcosC＋sinCcosA)＋sinB＝0.∴2cosCsin(A＋C)＋sinB＝0，即2cosCsinB＋sinB＝0，又0°B180°，∴sinB≠0，∴cosC＝－12，又0°C180°，∴C＝120°.(2)由余弦定理可得(23)2＝a2＋22－2×2acos120°＝a2＋2a＋4，又a0，∴解得a＝2，∴S△ABC＝12absinC＝3，∴△ABC的面积为3.2．(2018·陕西模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA＝(2c＋a)cos(π－B)．(1)求角B的大小；(2)若b＝4，△ABC的面积为3，求a＋c的值．解：(1)∵bcosA＝(2c＋a)cos(π－B)，由正弦定理可得，sinBcosA＝(－2sinC－sinA)cosB.∴sin(A＋B)＝－2sinCcosB.∴sinC＝－2sinCcosB，又sinC≠0，∴cosB＝－12，∴B＝2π3.(2)由S△ABC＝12acsinB＝3，得ac＝4.又b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16.∴a＋c＝25.3．(2018·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinB2－cosB2＝14.(1)求cosB的值；(2)若b2－a2＝314ac，求sinCsinA的值．解：(1)将sinB2－cosB2＝14两边同时平方得，1－sinB＝116，得sinB＝1516，故cosB＝±3116，又sinB2－cosB2＝140，所以sinB2cosB2，所以B2∈π4，π2，所以B∈π2，π，故cosB＝－3116.(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋314ac，所以314a＝c－2acosB＝c＋318a，所以c＝318a，故sinCsinA＝ca＝318.4．(2018·昆明模拟)在△ABC中，AC＝23，BC＝6，∠ACB＝150°.(1)求AB的长；(2)延长BC至D，使∠ADC＝45°，求△ACD的面积．解：(1)由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，得AB2＝12＋36－2×23×6cos150°＝84，所以AB＝221.(2)因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，所以∠CAD＝150°－45°＝105°，由正弦定理CDsin∠CAD＝ACsin∠ADC，得CD＝23sin105°sin45°，又sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°·cos45°＋cos60°·sin45°＝2＋64，所以CD＝3＋3，又∠ACD＝180°－∠ACB＝30°，所以S△ACD＝12AC·CD·sin∠ACD＝12×23×(3＋3)×12＝32(3＋1)．5．(2019届高三·齐鲁名校联考)在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为锐角，且满足2sin(A＋C)＋3cos2B＝4sinBcos2B2.(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积S＝334，b＝3，求△ABC的周长l.解：(1)由已知得，2sin(π－B)＋3cos2B＝4sinBcos2B2，即2sinB＋3cos2B＝4sinBcos2B2，所以2sinB1－2cos2B2＋3cos2B＝0，即－2sinBcosB＋3cos2B＝0，即sin2B＝3cos2B，所以tan2B＝3.因为0Bπ2，所以02Bπ，所以2B＝π3，解得B＝π6.(2)由(1)知，B＝π6.△ABC的面积S＝12acsinB＝12acsinπ6＝14ac＝334，整理得ac＝33，①由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得(3)2＝a2＋c2－2accosπ6＝a2＋c2－3ac，整理得a2＋c2－3ac＝3，②将①代入②得，(a＋c)2＝12＋63，即a＋c＝3＋3，故△ABC的周长l＝b＋a＋c＝3＋3＋3＝3＋23.B卷——深化提能练1．(2018·贵州一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.(1)求a；(2)求AB边上的高CD的长．解：(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，由余弦定理cosC＝a2＋b2－c22ab得cos120°＝a2a＋22a＋422aa＋2，即a2－a－6＝0，∴a＝3或a＝－2(舍去)，∴a＝3.(2)由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由三角形的面积公式得12absin∠ACB＝12c×CD，∴CD＝absin∠ACBc＝3×5×327＝15314，即AB边上的高CD＝15314.2．(2018·河北模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足54c－acosB＝bcosA.(1)若sinA＝25，a＋b＝10，求a；(2)若b＝35，a＝5，求△ABC的面积S.解：∵54c－acosB＝bcosA，∴由正弦定理得54sinC－sinA·cosB＝sinBcosA，即有54sinCcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，则54sinCcosB＝sinC.∵sinC0，∴cosB＝45.(1)由cosB＝45，得sinB＝35，∵sinA＝25，∴ab＝sinAsinB＝23，又a＋b＝10，解得a＝4.(2)∵b2＝a2＋c2－2accosB，b＝35，a＝5，∴45＝25＋c2－8c，即c2－8c－20＝0，解得c＝10或c＝－2(舍去)，∴S＝12acsinB＝15.3．(2018·沈阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA2＝255，AB―→·AC―→＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．解：(1)由AB―→·AC―→＝3，得bccosA＝3，又cosA＝2cos2A2－1＝2×2552－1＝35，∴bc＝5，sinA＝45.由sinA＝45及S△ABC＝12bcsinA，得S△ABC＝2.(2)由b＋c＝6，得b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝26，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，∴a＝25.4．(2019届高三·益阳、湘潭联考)已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a－bc＝cosBcosC.(1)求角C的大小；(2)求函数y＝sinA＋sinB的值域．解：(1)由2a－bc＝cosBcosC，利用正弦定理可得2sinAcosC－sinBcosC＝sinCcosB，可化为2sinAcosC＝sin(C＋B)＝sinA，∵sinA≠0，∴cosC＝12，∵C∈0，π2，∴C＝π3.(2)y＝sinA＋sinB＝sinA＋sinπ－π3－A＝sinA＋32cosA＋12sinA＝3sinA＋π6，∵A＋B＝2π3，0Aπ2，0Bπ2，∴π6Aπ2，∴π3A＋π62π3，∴sinA＋π6∈32，1，∴y∈32，3.5.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝7，EA＝2，∠ADC＝2π3，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．(1)求sin∠CED；(2)求BE的长．解：设∠CED＝α.因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝π3.(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，由题设知7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．在△CDE中，由正弦定理得ECsin∠EDC＝CDsinα，于是sinα＝CD·sin2π3EC＝2×327＝217，即sin∠CED＝217.(2)由题设知0απ3，由(1)知cosα＝1－sin2α＝1－2149＝277，又∠AEB＝π－∠BEC－α＝2π3－α，所以cos∠AEB＝cos2π3－α＝cos2π3cosα＋sin2π3sinα＝－12cosα＋32sinα＝－12×277＋32×217＝714.在Rt△EAB中，cos∠AEB＝EABE＝2BE＝714，所以BE＝47.